Частое определение вероятности; существует ли формальное определение?

Существует ли какое-либо формальное (математическое) определение того, что понимают частые люди под «вероятностью». Я читал, что это относительная частота появления «в долгосрочной перспективе», но есть ли какой-то формальный способ определить это? Есть ли известные ссылки, где я могу найти это определение?

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Под частым ответом (см. Комментарий @whuber и мои комментарии к ответу @Kodiologist и @Graeme Walsh ниже этого ответа) я имею в виду тех, кто «верит», что эта долгосрочная относительная частота существует. Может быть, это (частично) также отвечает на вопрос @Tim

TL; DR Не похоже, что можно определить частичное определение вероятности в соответствии с колмогоровской структурой, которая не является полностью круговой (т.е. в смысле круговой логики).

$$\underset{n \to \infty}{\lim} \frac{n_A}{n}$$ $n_A$

Но все эти понятия сходимости требуют, чтобы мера на вероятностном пространстве была определена как значимая. Разумеется, интуитивно понятным выбором будет почти наверняка выбрать сходимость. Это имеет особенность, которой предел должен существовать точечно, за исключением события с нулевой мерой. То, что представляет собой набор нулевой меры, будет совпадать для любого семейства мер, которые являются абсолютно непрерывными по отношению друг к другу - это позволяет нам определить понятие почти уверенной сходимости, делающего строгий вышеуказанный предел, в то же время оставаясь несколько агностичным относительно того, что лежит в основе мера для измеримого пространства событий есть (т. е. потому что это может быть любая мера, абсолютно непрерывная относительно некоторой выбранной меры). Это предотвратит цикличность в определении, которая возникнет из-за того, что определенная мера будет установлена ​​заранее,

Однако, если мы используем почти уверенную сходимость, то это означает, что мы ограничиваемся ситуацией строгого закона больших чисел (далее SLLN). Позвольте мне изложить эту теорему (как дано на стр. 133 Чунга) для ссылки здесь:

Пусть - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Тогда у нас есть где .$\{X_n\}$

$$\mathbb{E}|X_1| < \infty \implies \frac{S_n}{n} \to \mathbb{E}(X_1)\quad a.s.$$ $$\mathbb{E}|X_1| = \infty \implies \underset{n \to \infty}{\lim\sup}\frac{|S_n|}{n} = + \infty \quad a.s.$$ $S_n:= X_1 + X_2 + \dots + X_n$

Допустим, у нас есть измеримое пространство и мы хотим определить вероятность некоторого события относительно некоторого семейства взаимно абсолютно непрерывных вероятностных мер . Тогда с помощью теоремы Колмогорова о расширении или теоремы Ионеску о Тулче (я думаю, что обе работы) мы можем построить семейство пространств произведений , по одному на каждого . (Обратите внимание, что существование бесконечных пространств произведений, которое является заключением теоремы Колмогорова, требует, чтобы мера каждого пространства была равна , поэтому я теперь ограничиваюсь вероятностью, а не произвольными мерами). Затем определите$(X, \mathscr{F})$$A \in \mathscr{F}$$\{\mu_i\}_{i \in I}$$\{(\prod_{j=1}^{\infty} X_j)_i\}_{i \in I}$$\mu_i$$1$$\mathbb{1}_{A_j}$ - случайная переменная индикатора, то есть равная если встречается в й копии, и если нет, другими словами,Тогда ясно, что (где обозначает ожидание относительно ), так что строгий закон больших чисел будет фактически применить к (потому что по конструкции$1$$A$$j$$0$

$$n_A = \mathbb{1}_{A_1} + \mathbb{1}_{A_2} + \dots + \mathbb{1}_{A_n}.$$ $0 \le \mathbb{E}_i \mathbb{1}_{A_j} \le 1$$\mathbb{E}_i$$\mu_i$$(\prod_{j=1}^{\infty} X_j)_i$$\mathbb{1}_{A_j}$распределяются одинаково и независимо - обратите внимание, что независимое распределение означает, что мера пространства произведений является мультипликативной по отношению к координатным мерам), поэтому мы получаем, что и, следовательно, наше определение вероятности относительно естественно, должно быть . $$\frac{n_A}{n} \to \mathbb{E}_i \mathbb{1}_{A_1} \quad a.s.$$ $A$$\mu_i$$\mathbb{E}_1 \mathbb{1}_{A}$

Я только что понял, однако, что хотя последовательность случайных величин будет сходиться почти наверняка относительно тогда и только тогда, когда она почти наверняка сходится относительно , ( где ) это не обязательно означает, что оно будет сходиться к одному и тому же значению ; на самом деле, SLLN гарантирует, что этого не произойдет, если общем случае неверно.$\frac{n_A}{n}$$\mu_{i_1}$$\mu_{i_2}$$i_1, i_2 \in I$$\mathbb{E}_{i_1} \mathbb{1}_A = \mathbb{E}_{i_2} \mathbb{1}_A$

Если как-то "достаточно каноничен", скажем, как равномерное распределение для конечного множества, то, возможно, это хорошо работает, но на самом деле не дает никакой новой идеи. В частности, для равномерного распределения, , т. Вероятность - это просто пропорция точек или элементарных событий в которые принадлежат , который мне снова кажется несколько круглым. Для непрерывной случайной величины я не вижу, как мы могли бы когда-либо договориться о «каноническом» выборе .E 1 A = | A $\mu$AXA$\mathbb{E}\mathbb{1}_A = \frac{|A|}{|X|}$$A$$X$$A$$\mu$

Т.е. кажется, что имеет смысл определять частоту события как вероятность события, но не похоже, что имеет смысл определять вероятность события как частоту (по крайней мере, не будучи круговой). Это особенно проблематично, поскольку в реальной жизни мы фактически не знаем, какова вероятность; мы должны оценить это.

Также обратите внимание, что это определение частоты для подмножества измеримого пространства зависит от выбранной меры, являющейся вероятностным пространством; например, для счетного числа копий наделенных мерой Лебега, не существует показателя произведения, поскольку . Аналогично, мера с использованием меры канонического произведения равна , которая либо увеличивается до бесконечности, если либо равна нулю, если , т. е. теоремы продолжения Колмогорова и Тулчи - это особые результаты, свойственные вероятностным мерам. μ ( R ) = ∞ ∏ n j = 1 X ( μ ( X ) ) n μ ( X ) > 1 μ ( X ) < $\mathbb{R}$$\mu(\mathbb{R})=\infty$$\prod_{j=1}^n X$$(\mu(X))^n$$\mu(X) >1$$\mu(X) <1$

Я не думаю, что есть математическое определение, нет. Разница между различными интерпретациями вероятности не является разницей в том, как математически определяется вероятность. Вероятность может быть математически определена следующим образом: если пространство мер с , то вероятность любого события равна только . Я надеюсь, что вы согласны с тем, что это определение нейтрально по отношению к таким вопросам, как то, следует ли нам интерпретировать вероятности частым или байесовским способом.$(Ω, Σ, μ)$$μ(Ω) = 1$$S ∈ Σ$$μ(S)$