Линейная комбинация двух зависимых многомерных нормальных случайных величин

14

Предположим, что у нас есть два вектора случайных величин, оба являются нормальными, то есть и Y N ( μ Y , Σ Y ) . Нас интересует распределение их линейной комбинации Z = A X + B Y + C , где A и B - матрицы, C - вектор. Если X и Y независимы, Z NXN(μX,ΣX)YN(μY,ΣY)Z=AX+BY+CABCXY . Вопрос в зависимом случае, предполагая, что мы знаем корреляцию любой пары ( X i , Y i ) . Спасибо.ZN(AμX+BμY+C,AΣXAT+BΣYBT)(Xi,Yi)

С наилучшими пожеланиями, Иван

Иван
источник

Ответы:

8

В этом случае вы должны написать (с, надеюсь, четкими обозначениями) ( под редакцией: предполагая совместную нормальность ( X , Y ) ) Тогда A X + B Y = ( A B ) ( X Y ) и A X + B Y + C N

(XY)N[(μXμY),ΣX,Y]
(X,Y)
AX+BY=(AB)(XY)
то есть AX+BY+C N [ A μ X + B μ Y + C , A Σ X X A T + B Σ T X
AX+BY+CN[(AB)(μXμY)+C,(AB)ΣX,Y(ATBT)]
AX+BY+CN[AμX+BμY+C,AΣXXAT+BΣXYTAT+AΣXYBT+BΣYYBT]
Сиань
источник
3
XY
2
BΣXYTAT+AΣXYBT2AΣXYBT
BΣXYTAT+AΣXYBT=(AΣXYBT)T+AΣXYBT
ΣXY(i,j)cov(Xi,Yj)(j,i)cov(Xj,Yi)
1
@DilipSarwate: (+1) вы правы, в общем случае нет причин для того, чтобы эти два термина были равны.
Сиань
3

XYΣXYW=(XT,YT)TZW

Z=(A,B)W+C

AΣXYBT+BΣXYTAT

probabilityislogic
источник
Спасибо за указание на эту проблему, на самом деле, я даже не думал об этом, но кажется, что переменные действительно можно рассматривать, в моем случае, как совместно распределенные, даже если их компоненты взаимосвязаны.
Иван
XYcov(Xi,Yj)i,jW=(XT,YT)T, Любые две случайные величины с конечной дисперсией имеют ковариацию. Ковариация не определяется только для нормальных или совместно нормальных случайных величин.
Дилип Сарват
aTXa
1
XN(μX,ΣX)YN(μY,ΣY)XY(Xi,Yi)XiYiXN(μX,ΣX)XiYi
@Ivan Смотрите обсуждение после этого вопроса
Дилип Сарват