Рассмотрим одномерное случайное блуждание по целым числам с начальным состоянием :
где приращения равны IID, так что .
Можно доказать, что (1)
где нижний индекс обозначает начальную позицию.
Оба доказательства можно найти в http://galton.uchicago.edu/~lalley/Courses/312/RW.pdf . Читая статью, я понимаю оба доказательства.
Мой вопрос, однако, в том, что означает «в конце концов» в первом утверждении, а также в целом. Если что-то происходит «в конце концов», это не должно происходить за конечное время, не так ли? Если так, то в чем разница между тем, что не происходит, и тем, что не происходит «в конце концов»? Утверждения (1) и (2) в некотором смысле противоречат мне. Есть ли другие примеры, подобные этому?
РЕДАКТИРОВАТЬ
Просто хочу добавить мотивацию для вопроса, т. Е. Простой пример того, что происходит «в конце концов», но с конечным ожидаемым временем ожидания.
Поэтому мы знаем, что ходок «в конечном итоге» переместится влево, и ожидаемое время ожидания перед этим (т. Е. Движение влево) будет .
Видеть что-то, что происходит «в конце концов», но с бесконечно ожидаемым «временем ожидания», было довольно натянуто для моего воображения. Вторая половина ответа @ whuber - еще один замечательный пример.
Ответы:
Как бы вы продемонстрировали событие «в конце концов случится»? Вы бы провели мысленный эксперимент с гипотетическим противником. Ваш оппонент может бросить вам вызов с любым положительным числом . Если вы можете найти n (что, скорее всего, зависит от p ), для которого вероятность события, произошедшего к моменту n, составляет не менее 1 - p , то вы выиграете.п N п N 1 - р
В этом примере « » вводит в заблуждение нотацию, поскольку вы используете ее как для обозначения одного состояния случайного блуждания, так и для всего самого случайного блуждания. Давайте позаботимся о том, чтобы признать это различие. «Достигает 1, в конце концов» предназначен для обозначения подмножества S множества всех случайных блужданий Ω . Каждая прогулка S ∈ Ω имеет бесконечно много шагов. Значение S в момент времени n равно S n . « S достигает 1 по времени n » относится к подмножеству Ω прогулок, которые достигли состояния 1SN 1 S Ω S∈ Ω S N SN S 1 N Ω 1 ко времени . Строго говоря, это наборN
В своем ответе мнимому противнику вы демонстрируете некоторое со свойством, котороеΩ1,n
Поскольку произвольно, у вас есть все элементы множестваn
(Напомним , что тогда и только тогда , когда существует конечное п , для которых S ∈ Ω 1 , п , так что нет никаких бесконечных чисел , участвующих в этом союзе.)S∈⋃∞n=1Ω1,n n S∈Ω1,n
Ваша способность выиграть игру показывает, что этот союз имеет вероятность, превышающую все значения вида , независимо от того, насколько маленьким может быть p > 0 . Следовательно, эта вероятность составляет не менее 1 - и, следовательно, равна 1 . Вы продемонстрировали, что1−p p>0 1 1
Один простой способ оценить разницу между «происходящим в конечном итоге» и бесконечным ожидаемым временем первого прохождения - это рассмотреть более простую ситуацию. Для любого натурального числа пусть ω ( n ) будет последовательностьюn ω(n)
в котором за нулями следует бесконечная цепочка единиц. Другими словами, это те прогулки, которые остаются в начале координат и через некоторое (конечное) время переходят в точку 1 , а затем остаются там навсегда.n 1
Пусть - множество всех этих ω ( n ) , n = 0 , 1 , 2 , … с дискретной сигма-алгеброй. Назначьте меру вероятности черезΩ ω(n),n=0,1,2,…
Это было разработано для того, чтобы иметь возможность перейти к к моменту времени n, равному 1 - 1 / ( n + 1 ) , который, очевидно, приближается произвольно близко к 1 . Вы выиграете игру. Прыжок в конце концов происходит, и когда это произойдет, это будет в какое-то конечное время. Тем не менее, ожидаемое время, когда это происходит, является суммой функции выживания (которая дает шансы не прыгнуть в момент времени n ),1 n 1−1/(n+1) 1 n
который расходится. Это потому, что относительно большая вероятность длится долгое время перед прыжком.
источник
underbrace
То, что что-то происходит в конечном итоге, означает, что есть некоторый момент времени, когда это происходит, но есть смысл, что никто не ссылается на какое-то конкретное указанное время, до которого это происходит. Если вы говорите, что что-то произойдет в течение трех недель, это более сильное утверждение, чем то, что это произойдет в конце концов. То, что это произойдет в конечном итоге, не определяет время, например, «три недели», «тридцать миллиардов лет» или «одну минуту».
источник