Связанный момент производящей функции

Этот вопрос возникает из вопроса, который здесь задают о функции, порождающей момент (MGF).

Предположим, что $X$ - ограниченная случайная величина со средним нулем, принимающая значения в $[-\sigma, \sigma]$ и пусть $G(t) = E[e^{tX}]$ - ее MGF. Из а связаны используется в доказательстве неравенства Хёфдинга , мы имеем , что

$$G(t) = E[e^{tX}] \leq e^{\sigma^2t^2/2}$$ где правая сторона распознается как MGF нормальной случайной величины с нулевым средним со стандартным отклонением $\sigma$ . Теперь стандартное отклонение $X$ может быть не больше $\sigma$ , причем максимальное значение имеет место, когда $X$ представляет собой дискретную случайную величину, такую ​​что $P\{X = \sigma\} = P\{X = -\sigma\} = \frac{1}{2}$ . Таким образом, упомянутая граница может рассматриваться как говорящая о том, что MGF ограниченной нулевой средней случайной величины$X$ограничен сверху MGF нормальной нулевой средней случайной величины, стандартное отклонение которой равно максимально возможному стандартному отклонению, котороеможет сделать$X$иметь.

Мой вопрос: является ли это хорошо известным результатом независимого интереса, который используется не в доказательстве неравенства Хеффдинга, а в других местах, и если да, то известно ли также, что он распространяется на случайные величины с ненулевым средним?

Результат , который подсказки этот вопрос дает асимметричный диапазон $[a,b]$ для $X$ с $a < 0 < b$ но настаивает на $E[X] = 0$ . Граница

$$G(t) \leq e^{t^2(b-a)^2/8} = e^{t^2\sigma_{max}^2/2}$$ , где σмакс = ( б -$\sigma_{\max} = (b-a)/2$ - максимально возможное стандартное отклонение для случайной величины со значениями, ограниченными$[a,b]$ , но этот максимум не достигается случайными величинами с нулевым средним, если только $b = -a$ .

Я не могу ответить на первую часть вашего вопроса, но что касается расширения случайных величин ненулевыми средствами ...

Во-первых, обратите внимание, что любой rv с конечным диапазоном [ a + μ , b + μ ] и (обязательно конечным) средним значением µ может быть преобразован в rv X = Z - μ, который, конечно, является нулевым средним с диапазоном [ a , б ] (таким образом, удовлетворяя условиям в вашей постановке задачи). Преобразованная переменная имеет mgf ϕ X ( t ) = exp { $Z$$[a+\mu,b+\mu]$$\mu$$X = Z-\mu$$[a,b]$$\phi_X(t) = \exp\{-\mu t\}\phi_Z(t)$(по основным свойствам mgf) Умножение обеих сторон на и применение неравенства дает:$\exp\{\mu t\}$

$\phi_Z(t) = \exp\{\mu t\}\phi_X(t) \leq \exp\{\mu t\}\exp\{t^2\sigma^2_\text{max}/2\} = \exp\{\mu t + t^2\sigma^2_\text{max}/2\}$

Не удивительно, что мгф нормальной случайной величины с тем же средним и стандартным отклонением, равным $\sigma_\text{max}$