Рассмотрим квадратичную потерю , с заранее заданным \ pi (\ theta), где \ pi (\ theta) \ sim U (0,1 / 2) . Пусть
f (x | \ theta) = \ theta x ^ {\ theta-1} \ mathbb {I} _ {[0,1]} (x), \ theta> 0 вероятности. Найти оценку Байеса \ delta ^ \ pi .L(θ,δ)=(θ−δ)2π(θ)π(θ)∼U(0,1/2)f(x|θ)=θxθ−1I[0,1](x),θ>0δπ
Рассмотрим взвешенную квадратичную потерю
Lw(θ,δ)=w(θ)(θ−δ)2 где
w(θ)=I(−∞,1/2) с предшествующим
π1(θ)=I[0,1](θ) . Пусть f(x|θ)=θxθ−1I[0,1](x),θ>0 - вероятность. Найдите оценку Байеса δπ1 .
Сравните δπ и δπ1
Сначала я заметил, что f(x|θ)∼Beta(θ,1) , и я предположил, что это вероятность, иначе я не получу апостериор, тогда
π(θ|x)∝f(x|θ)π(θ)=θxθ−1I[0,1]∗2I(0,1/2)(θ)∼Beta(θ,1)
поэтому оценка Байеса в отношении квадратичной потери равна
E[π(θ|x)]=θθ+1
Я смотрю в книге «Байесовский выбор», и есть теорема об оценке Байеса, связанной с взвешенными квадратичными потерями, и она задается как
δπ(x)=Eπ[w(θ)θ|x]Eπ[w(θ)|x]
Может кто-нибудь объяснить мне, как я это вычисляю?
То, что я пытался это:
δπ(x)=∫θw(θ)f(x|θ)π(θ)dθ∫w(θ)f(x|θ)π(θ)dθ∫f(x|θ)π(θ)dθ∫w(θ)f(xθ)π(θ)dθ
Я знаю, что поддержка , но когда я пытался интегрировать в числитель[0,12]
∫θw(θ)f(x|θ)π(θ)dθ=∫120θθxθ−1dθ=1x∫120θ2xθdθ
Я не получаю хороших результатов.
Ответы:
Во-первых, обратите внимание, что я исправил первоначальную формулировку вопроса относительно функций индикатора в ваших определениях вероятности, поскольку они должны быть функциями not . Следовательно, вероятность равна который однозначно интегрируется в один:θ е ( х ) = θ х θ - 1 Я [ 0 , 1 ] ( х ) ∫ 1 0 θ х θ - 1 д х = 1x θ
Во-вторых, апостериор в не является бета-функцией, поскольку, как указывает Greenparker Из-за ограничений для значений это также не гамма-распределение, а усечение гамма-распределения.π ( θ | x ) ∝θ
Следовательно, оценка Байеса - это апостериорное ожидание который может показаться требующим использования неполной гамма-функции, но который может быть получен в закрытой форме путем интегрирования по : начиная с
Последнее, как указано в моей книге , действительно, минимизация в эквивалентна минимизации в что само по себе эквивалентно минимизации в что эквивалентно замене исходного предшествующего значения новым предшествующим значением который необходимо перенормировать в плотность, то естьδ
источник
Ваш ответ для квадрата ошибки потери является неправильным.
Это распределение по , а не по , а случайная величина в апостериорной области равна . Таким образом, ваш ответ неверен, и правильный ответ будет последним средним этого распределения.Beta(θ,1) x θ θ
Для второй части
(Предыдущее значение для функции взвешенных потерь - но вы называете ее . Я переключаю нотацию обратно на .)π1 π π1
Пусть , где - нормализующая константа. Вам нужно рассчитатьπ′(θ)=cw(θ)π1(θ) c
Таким образом, для взвешенной функции наименьших квадратов в теореме говорится, что байесовская оценка является последним средним по отношению к другому априорному значению. Предыдущее существо
Нормализующей константой является .∫θw(θ)π(θ)dθ=Eπ1[w(θ)]
Таким образом, предыдущий является . Это то же самое, что и у вас в первом вопросе.π′(θ)=2I(0,1/2)(θ)
Таким образом, ответ для сценариев (что бы это ни было) будет одинаковым. Вы можете найти интеграл здесь . Хотя, может быть, достаточно исправить форму ответа, а не завершить интеграл.
источник