Для удобства обозначим через Икс непрерывную случайную величину с нулевым средним с функцией плотности е( х ) и рассмотрим п{ X≥ a } где а > 0 . Мы имеем
где g ( x ) = 1 [ a , ∞ ) . Если n -четноецелое число, а b - любое положительное действительное число, то
h ( x ) = ( x + b).
п{ X≥ a } = ∫∞aе( х )д х= ∫∞- ∞грамм( х ) е( х )д х=Е[ г( Х) ]
грамм( х ) = 1[ a , ∞ )Nб
и поэтому
E[h(X)]=∫ ∞ - ∞ h(x)f(x)h ( x ) = ( x + bа + б)N≥ г( x ) , - ∞ < x < ∞ ,
Таким образоммы имеемчто для всех положительных действительных чисели
Ь ,
Р { Х ≥ } ≤ Е [ ( Х + ЬЕ[h(X) ] = ∫∞- ∞ч ( х ) ж( х )д х≥ ∫∞- ∞грамм( х ) е( х )д х=Е[ г( Х) ] .
aб
где самое правое ожидание в
(1)является
n-ммоментом (
nчетным)
Xотносительно
-b. Когда
n=2, наименьшая верхняя граница на
P{X≥a}получается, когда
b=σ2п{ X≥ a } ≤ E[ ( X+ б+ б)N] =(a+b )- нЕ[ ( X+ б )N](1)
( 1 )NNИкс- бп = 2п{ X≥ a } дает одностороннее неравенство Чебышева (или неравенство Чебышева-Кантелли):
P { X ≥ a } ≤ σ 2б = σ2/ а
Для больших значений
nминимизация относительно
bболее сложная.
п{ X≥ a } ≤ σ2a2+ σ2,
Nб