Приблизительная статистика порядка для нормальных случайных величин

Существуют ли хорошо известные формулы для статистики порядка некоторых случайных распределений? В частности, статистика первого и последнего порядка нормальной случайной величины, но также следует принять более общий ответ.

Изменить: чтобы уточнить, я ищу приближающие формулы, которые могут быть более или менее явно оценены, а не точное интегральное выражение.

Например, я видел следующие два приближения для статистики первого порядка (т.е. минимума) нормального rv:

$e_{1:n} \geq \mu - \frac{n-1}{\sqrt{2n-1}}\sigma$

а также

$e_{1:n} \approx \mu + \Phi^{-1} \left( \frac{1}{n+1} \right)\sigma$

Первый из них при дает примерно который выглядит как дико свободная граница.$n=200$$e_{1:200} \geq \mu - 10\sigma$

Второе дает тогда как быстрый Монте-Карло дает , так что это не плохое приближение, но тоже не велико, и что более важно, у меня нет никакой интуиции о том, откуда она взялась.$e_{1:200} \approx \mu - 2.58\sigma$$e_{1:200} \approx \mu - 2.75\sigma$

Любая помощь?

Классическая ссылка - это Royston (1982) [1], в котором алгоритмы выходят за рамки явных формул. Он также цитирует известную формулу Блома (1958): с . Эта формула дает множитель -2,73 для .α=0,375n=200,r=$E(r:n) \approx \mu + \Phi^{-1}(\frac{r-\alpha}{n-2\alpha+1})\sigma$$\alpha=0.375$$n=200, r=1$

[1]: Алгоритм AS 177: Ожидаемая статистика нормального порядка (точная и приблизительная) JP Royston. Журнал Королевского статистического общества. Серия C (Прикладная статистика) Том. 31, № 2 (1982), с. 161-165

$$\newcommand{\Pr}{\mathrm{Pr}}\newcommand{\Beta}{\mathrm{Beta}}\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}$$ Распределение статистики i-го порядка любой непрерывной случайной случайной величины переменная с PDF задается составным распределением "бета-F". Интуитивный способ думать об этом распределении, чтобы рассмотреть статистику заказа Ith в образце . Теперь, чтобы значение i-го порядка статистики случайной величины было равно нам нужно 3 условия:$N$$X$$x$

1. $i-1$ ниже , это имеет вероятность для каждого наблюдения, где - CDF случайной величины X.$x$$F_{X}(x)$$F_X(x)=\Pr(X<x)$
2. $N-i$Значения выше , это имеет вероятность$x$$1-F_{X}(x)$
3. 1 значение в бесконечно малом интервале, содержащем , имеет вероятность где равно PDF случайной величины$x$$f_{X}(x)dx$$f_{X}(x)dx=dF_{X}(x)=\Pr(x<X<x+dx)$$X$

Есть способов сделать этот выбор, поэтому мы имеем:${N \choose 1}{N-1 \choose i-1}$

$$f_{i}(x_{i})=\frac{N!}{(i-1)!(N-i)!}f_{X}(x_{i})\left[1-F_{X}(x_{i})\right]^{N-i}\left[F_{X}(x_{i})\right]^{i-1}dx$$

РЕДАКТИРОВАТЬ в своем первоначальном посте, я сделал очень плохую попытку продвинуться дальше от этого пункта, и комментарии ниже отражают это. Я попытался исправить это ниже

Если мы возьмем среднее значение этого PDF, мы получим:

$$E(X_{i})=\int_{-\infty}^{\infty} x_{i}f_{i}(x_{i})dx_{i}$$

И в этом интеграле мы делаем следующее изменение переменной (принимая подсказку @ Генри), и интеграл становится:$p_{i}=F_{X}(x_{i})$

$$E(X_{i})=\int_{0}^{1} F_{X}^{-1}(p_{i})\Beta(p_{i}|i,N-i+1)dp_{i}=E_{\Beta(p_{i}|i,N-i+1)}\left[F_{X}^{-1}(p_{i})\right]$$

Так что это ожидаемое значение обратного CDF, которое можно хорошо аппроксимировать, используя дельта-метод, чтобы получить:

$$E_{\Beta(p_{i}|i,N-i+1)}\left[F_{X}^{-1}(p_{i})\right]\approx F_{X}^{-1}\left[E_{\Beta(p_{i}|i,N-i+1)}\right]=F_{X}^{-1}\left[\frac{i}{N+1}\right]$$

Чтобы сделать лучшее приближение, мы можем расширить до 2-го порядка (простое обозначает дифференцирование), и отметив, что вторая производная от обратного:

$$\frac{\partial^{2}}{\partial a^{2}}F_{X}^{-1}(a)=-\frac{F_{X}^{''}(F_{X}^{-1}(a))}{\left[F_{X}^{'}(F_{X}^{-1}(a))\right]^{3}}=-\frac{f_{X}^{'}(F_{X}^{-1}(a))}{\left[f_{X}(F_{X}^{-1}(a))\right]^{3}}$$

Пусть . Тогда имеем:$\nu_{i}=F_{X}^{-1}\left[\frac{i}{N+1}\right]$

$$E_{\Beta(p_{i}|i,N-i+1)}\left[F_{X}^{-1}(p_{i})\right]\approx F_{X}^{-1}\left[\nu_{i}\right]-\frac{\Var_{\Beta(p_{i}|i,N-i+1)}\left[p_{i}\right]}{2}\frac{f_{X}^{'}(\nu_{i})}{\left[f_{X}(\nu_{i})\right]^{3}}$$ $$=\nu_{i}-\frac{\left(\frac{i}{N+1}\right)\left(1-\frac{i}{N+1}\right)}{2(N+2)}\frac{f_{X}^{'}(\nu_{i})}{\left[f_{X}(\nu_{i})\right]^{3}}$$

Теперь, специализируясь на нормальном случае, мы имеем

$$f_{X}(x)=\frac{1}{\sigma}\phi(\frac{x-\mu}{\sigma})\rightarrow f_{X}^{'}(x)=-\frac{x-\mu}{\sigma^{3}}\phi(\frac{x-\mu}{\sigma})=-\frac{x-\mu}{\sigma^{2}}f_{X}(x)$$ $$F_{X}(x)=\Phi(\frac{x-\mu}{\sigma})\implies F_{X}^{-1}(x)=\mu+\sigma\Phi^{-1}(x)$$

Обратите внимание, что И ожидание примерно становится:$f_{X}(\nu_{i})=\frac{1}{\sigma}\phi\left[\Phi^{-1}\left(\frac{i}{N+1}\right)\right]$

$$E[x_{i}]\approx \mu+\sigma\Phi^{-1}\left(\frac{i}{N+1}\right)+\frac{\left(\frac{i}{N+1}\right)\left(1-\frac{i}{N+1}\right)}{2(N+2)}\frac{\sigma\Phi^{-1}\left(\frac{i}{N+1}\right)}{\left[\phi\left[\Phi^{-1}\left(\frac{i}{N+1}\right)\right]\right]^{2}}$$

И наконец:

$$E[x_{i}]\approx \mu+\sigma\Phi^{-1}\left(\frac{i}{N+1}\right)\left[1+\frac{\left(\frac{i}{N+1}\right)\left(1-\frac{i}{N+1}\right)}{2(N+2)\left[\phi\left[\Phi^{-1}\left(\frac{i}{N+1}\right)\right]\right]^{2}}\right]$$

Хотя, как заметил @whuber, это не совсем точно. На самом деле я думаю, что это может быть хуже из-за асимметрии бета-версии с различными параметрами

Ответ Анико опирается на хорошо известную формулу Блома, которая предполагает выбор . Оказывается, что эта формула сама по себе является простым приближением к точному ответу Г. Эльфвинга (1947), Асимптотическое распределение диапазона в образцах из нормальной популяции , Biometrika, Vol. 34, с. 111-119. Формула Эльфвинга нацелена на минимум и максимум выборки, для которой правильный выбор альфа равен . Формула Блома получается, когда мы приближаем на .$\alpha = 3/8$$\pi/8$$\pi$$3$

Используя формулу Эльфвинга, а не приближение Блома, мы получаем множитель -2,744165. Это число ближе к точному ответу Эрика П. (-2,746) и приближению Монте-Карло (-2,75), чем приближение Блома (-2,73), но его легче реализовать, чем точную формулу.

В зависимости от того, что вы хотите сделать, этот ответ может или не может помочь - я получил следующую точную формулу из пакета статистики Maple .

with(Statistics):
X := OrderStatistic(Normal(0, 1), 1, n):
m := Mean(X):
m;

$$\int _{-\infty }^{\infty }\!1/2\,{\frac {{\it \_t0}\,n!\,\sqrt {2}{ {\rm e}^{-1/2\,{{\it \_t0}}^{2}}} \left( 1/2-1/2\, {{\rm erf}\left(1/2\,{\it \_t0}\,\sqrt {2}\right)} \right) ^{-1+n}}{ \left( -1+n \right) !\,\sqrt {\pi }}}{d{\it \_t0}}$$

Само по себе это не очень полезно (и, вероятно, его можно получить довольно легко вручную, так как это минимум из случайных величин), но оно позволяет быстро и очень точно приближать данные значения - гораздо более точно, чем Монте-Карло:$n$$n$

evalf(eval(m, n = 200));
evalf[25](eval(m, n = 200));

дает -2,746042447 и -2,746042447451154492412344 соответственно.

(Полное раскрытие - я поддерживаю этот пакет.)