Доказать / Не подтвердить

10

Доказать / Не подтвердить E[1A|Ft]=0 or 1 a.s. E[1A|Fs]=E[1A|Ft] a.s.


Учитывая , отфильтрованный вероятностное пространство (Ω,F,{Fn}nN,P) , пусть AF .

Пусть Следует

tN s.t. E[1A|Ft]=1 a.s.
ли из этого, что
E[1A|Fs]=E[1A|Ft] a.s. s>t ?
Как насчет s<t ?

Что если вместо этого

tN s.t. E[1A|Ft]=0 a.s. ?
Или что если
E[1A|Ft]=p a.s. for some p(0,1) ?

Что я пробовал:


Если , затем E [ 1 A ] = 1 , что равно 1 A = 1 (почти наверняка). В этом случае E [ 1 A | F s ] = 1 (почти наверняка) для каждого s .E[1A|Ft]=1E[1A]=11A=1E[1A|Fs]=1s

Аналогично, если , тогда E [ 1 A ] = 0 , что равно 1 A = 0 (почти наверняка). В этом случае E [ 1 A | F s ] = 0 (почти наверняка) для каждого s .E[1A|Ft]=0E[1A]=01A=0E[1A|Fs]=0s

Если , для константы p ( 0 , 1 ) , тогда имеемE[1A|Ft]=pp(0,1)

. Это может не сработать, если s > t .E[1A|Fs]=E[E[1A|Ft]|Fs]=E[p|Fs]=ps>t

В качестве альтернативы для случая :=p

Пусть - ограниченная F t -измеримая случайная величина.FFt

E[1AF]=E[E[1AF|Ft]]=E[FE[1A|Ft]]

=E[pF]=pE[F]=E[1A]E[F]

Это означает, что и F являются независимыми. Другими словами, σ ( A ) и F t независимы. Таким образом, σ ( A ) и F s также независимы, если s < t и, следовательно, E [ 1 A | F s ] = E [ 1 A ] = p . Это может не сработать, если s > t .1AFσ(A)Ftσ(A)Fss<tE[1A|Fs]=E[1A]=ps>t

Я предполагаю , что идея состоит в том, что константа одновременно зависит от и F s -измеримойFsFs .

BCLC
источник

Ответы:

5

Ваш аргумент кажется верным, но вы начинаете с предположения, что . Однако в вопросе говорится, что E [ 1 A | F t ] { 0 , 1 } , что я бы сказал, что случайная величина E [ 1 A | F t ] принимает значения в наборе { 0 , 1 }, т. Е. E [ 1 A | FE[1A|Ft]=1E[1A|Ft]{0,1}E[1A|Ft]{0,1} гдеB F t . Определяющее свойство этого условного ожидания является точтоF 1 B d P =F 1 д Р для всехF F т . В частности, выборF=Bприводит кP(B)=P(AB), из чего можно сделать вывод, чтоBAE[1A|Ft]=1BBFtF1BdP=F1AdPFFtF=BP(B)=P(AB)BA(кроме, возможно, на множестве вероятности ноль). Однако мы также знаем (как в написанном вами аргументе), что т. Е. P ( A ) = P ( B ) , поэтому единственный возможный вывод состоит в том, что A = B (за исключением, возможно, набора вероятностей, равного нулю).E[E[1A|Ft]]=E[1B]P(A)=P(B)A=B

Для , F tF s , поэтому закон башни для условных ожиданий подразумевает, что E [ 1 A | F t ] = E [ E [ 1 A | F t ] | F s ] . Но Е [ 1 А | F t ] = 1 A , поэтому E [ 1 A | F s ] =s>tFtFsE[1A|Ft]=E[E[1A|Ft]|Fs]E[1A|Ft]=1A . Таким образом, все условные ожидания для s > t равны ( 1 A ). Для s < t , если A F s, тогда у нас все еще будет E [ 1 A | F сек ] = 1 . С другой стороны, если мы вернемся ко времени, когда A не находится в F s , то я не думаю, что что-то можно сказать о E [ 1 A | F s ]E[1A|Fs]=1As>t1As<tAFsE[1A|Fs]=1AAFsE[1A|Fs]В основном. Конкретный пример см. В этой статье , рис. 1. Если взять , например, , то получим последовательность условных ожиданий E [ 1 A | F 0 ] = 1A={ω2}F2F1,E[1A| F1]=1E[1A|F0]=181Ω,E[1A| F2]=1{ω2},E[1A| F3]=1{ω2}.E[1A|F1]=121{ω1,ω2}E[1A|F2]=1{ω2}E[1A|F3]=1{ω2}

С. Каттералл Восстановить Монику
источник
Спасибо С. Каттералл. Откуда вы знаете 1 ? 2 E [ 1 A | F t ] = 1 А ? Также собираюсь редактировать вопрос. Приносим извинения за доставленные неудобства. Я собираюсь использовать некоторые ваши идеи для редактированияP(B)=P(AB)BAE[1A|Ft]=1A
BCLC
1
Позвольте мне попытаться подвести итог на естественном языке; фильтрация соответствует все более тонкому подразделению конечного пространства, и условное ожидание события сравнению с последовательными элементами фильтрации («по мере поступления дополнительной информации») становится более пиковым вокруг события (при начальном состоянии информации F 0 это просто равномерное распределение). Время остановки - это поверхность процесса, установленная стохастическим уровнем (в статье переменная результата является двоичной, и было выбрано значение 0 ). AF00
ocramz
@ocramz и S. Catterall, закончили редактирование. Как это пожалуйста? ^ - ^
BCLC
1
На этом рисунке, если мы измеряем событие , но пример процесса заканчивается в конфигурации ω i , которая не принадлежит A , A становится фактически «непознаваемым» (мера 0 ). Это описание верно? Кроме того, как условные ожидания в последовательные моменты времени напоминают мне об итеративном байесовском процессе, есть ли связь между этими понятиями? @S. CatterallAωiAA0
ocramz
1
Отвечая на вопросы в вашем первом комментарии: если то, поскольку B является несвязным объединением A B и A cB, мы должны иметь P ( A cB ) = 0 , что означает, что B A как теперь, таким же образом, мы можем использовать P ( A ) = P ( B ), чтобы заключить, чтоP(B)=P(AB)BABAcBP(AcB)=0BAP(A)=P(B) asA=BFt
S. Catterall Восстановить Монику