Как вычислить

9

Я пытаюсь решить проблему для своей диссертации, и я не вижу, как это сделать. У меня есть 4 наблюдения, случайно взятых из равномерного (0,1) распределения. Я хочу вычислить вероятность того, что 3X(1)X(2)+X(3) . X(i) - это статистика i-го порядка (я беру статистику по порядку, чтобы мои наблюдения ранжировались от наименьшего к наибольшему). Я решил это для более простого случая, но здесь я заблудился, как это сделать.

Вся помощь будет приветствоваться.

SEV
источник

Ответы:

12

Запишите статистику заказа как , 0 x 1x 2x 3x 41 . Начнем с того, что x 1x 2 подразумевает(x1,x2,x3,x4)0x1x2x3x41x1x2

Pr[3x1x2+x3]=1Pr[3x1<x2+x3]=1Pr[x1min(x2,x2+x33)].

Это последнее событие разбивается на два непересекающихся события в зависимости от того, какой из и больше: ( х 2 + х 3 ) / 2x2(x2+x3)/2

Pr[x1min(x2,x2+x33)]=Pr[x2x32,x1x2]+Pr[x32x2x3,x1x2+x33].

Поскольку совместное распределение является равномерным на множестве , с плотностью ,4 ! д х 4 д х 3 д х 2 д х 10x1x2x3x414!dx4dx3dx2dx1

Pr[x2x32,x1x2]=4!01dx40x4dx30x3/2dx20x2dx1=14

а также

Pr[x32x2x3,x1x2+x33]=4!01dx40x4dx3x3/2x3dx20(x2+x3)/2dx1=712.

(Каждый интеграл легко выполнить как итеративный интеграл; участвуют только полиномиальные интегрирования.)

Следовательно, желаемая вероятность равна = .1 / 61(1/4+7/12)1/6

редактировать

Более умное решение (которое упрощает работу) вытекает из признания того, что когда у есть Exponential распределения, , то (запись ) Масштабные частичные суммы 1 j n + 1 y 1 + y 2 + + y n + 1 = Yyj1jn+1y1+y2++yn+1=Y 

xi=j=1iyj/Y,

Y n 31in , распределяются как статистика однородного порядка. Поскольку почти наверняка является положительным, из этого легко следует, что для любого ,Y n3

Pr[3x1x2+x3]=Pr[3y1Yy1+y2Y+y1+y2+y3Y]=Pr[3y1(y1+y2)+(y1+y2+y3)]=Pr[y12y2+y3]=0exp(y3)0exp(y2)2y2+y3exp(y1)dy1dy2dy3=0exp(y3)0exp(y2)[exp(2y2y3)]dy2dy3=0exp(2y3)dy30exp(3y2)dy2=1213=16.
Whuber
источник
Большое спасибо за вашу помощь! Я был заблокирован в моем исследовании из-за этой проблемы, так что еще раз спасибо!
SEV
2
+1 Точка зрения, добавленная в недавнем редакторе, особенно ценится
Дилип Сарвейт,