Запишите статистику заказа как , 0 ≤ x 1 ≤ x 2 ≤ x 3 ≤ x 4 ≤ 1 . Начнем с того, что x 1 ≤ x 2 подразумевает(x1,x2,x3,x4)0≤x1≤x2≤x3≤x4≤1x1≤x2
Pr[3x1≥x2+x3]=1−Pr[3x1<x2+x3]=1−Pr[x1≤min(x2,x2+x33)].
Это последнее событие разбивается на два непересекающихся события в зависимости от того, какой из и больше: ( х 2 + х 3 ) / 2x2(x2+x3)/2
Pr[x1≤min(x2,x2+x33)]=Pr[x2≤x32,x1≤x2]+Pr[x32≤x2≤x3,x1≤x2+x33].
Поскольку совместное распределение является равномерным на множестве , с плотностью ,4 ! д х 4 д х 3 д х 2 д х 10≤x1≤x2≤x3≤x4≤14!dx4dx3dx2dx1
Pr[x2≤x32,x1≤x2]=4!∫10dx4∫x40dx3∫x3/20dx2∫x20dx1=14
а также
Pr[x32≤x2≤x3,x1≤x2+x33]=4!∫10dx4∫x40dx3∫x3x3/2dx2∫(x2+x3)/20dx1=712.
(Каждый интеграл легко выполнить как итеративный интеграл; участвуют только полиномиальные интегрирования.)
Следовательно, желаемая вероятность равна = .1 / 61−(1/4+7/12)1/6
редактировать
Более умное решение (которое упрощает работу) вытекает из признания того, что когда у есть Exponential распределения, , то (запись ) Масштабные частичные суммы 1 ≤ j ≤ n + 1 y 1 + y 2 + ⋯ + y n + 1 = Yyj1≤j≤n+1y1+y2+⋯+yn+1=Y
xi=∑j=1iyj/Y,
Y n ≥ 31≤i≤n , распределяются как статистика однородного порядка. Поскольку почти наверняка является положительным, из этого легко следует, что для любого ,Y n≥3
Pr[3x1≥x2+x3]=Pr[3y1Y≥y1+y2Y+y1+y2+y3Y]=Pr[3y1≥(y1+y2)+(y1+y2+y3)]=Pr[y1≥2y2+y3]=∫∞0exp(−y3)∫∞0exp(−y2)∫∞2y2+y3exp(−y1)dy1dy2dy3=∫∞0exp(−y3)∫∞0exp(−y2)[exp(−2y2−y3)]dy2dy3=∫∞0exp(−2y3)dy3∫∞0exp(−3y2)dy2=1213=16.