Как рассчитать ожидаемое значение стандартного нормального распределения?

13

Я хотел бы узнать, как рассчитать ожидаемое значение непрерывной случайной величины. Представляется , что ожидаемое значение , где является функция плотности вероятности .е ( х ) Х

E[X]=xf(x)dx
f(x)X

Предположим, что функция плотности вероятности  имеет вид который является плотностью стандартное нормальное распределение.f ( x ) = 1X

f(x)=12πex22

Итак, я бы сначала подключил PDF и получил который выглядит довольно грязно. Константа может быть перемещена за пределы интеграла, давая 1

E[X]=x12πex22dx
E[X]=112π
E[X]=12πxex22dx.

Я застрял здесь. Как рассчитать интеграл? Я делаю это правильно это далеко? Это самый простой способ получить ожидаемое значение?

ММХ
источник
3
название вашего вопроса вводит в заблуждение. Вы на самом деле пытаетесь рассчитать ожидаемое значение стандартной нормальной случайной величины. Вы также можете рассчитать ожидаемое значение функции RV. Я бы предпочел поставить в заголовке: «Как рассчитать ожидаемое значение стандартного нормального распределения». Или «Как рассчитать ожидаемое значение непрерывной случайной величины».
Gumeo
1
@ GuðmundurEinarsson исправлено.
ммч
1
«Я застрял здесь. Как рассчитать интеграл?» Найдите производную . (Нет, я не шучу и не предлагаю вам ненужную занятую работу; я смертельно серьезен; просто сделайте это!). Затем пристально посмотрите на производную, которую вы нашли. ex22
Дилип Сарватэ

Ответы:

13

Вы почти на месте, следуйте своему последнему шагу:

E[X]=12πxex22dx=12πex2/2d(x22)=12πex2/2=0
.

Или вы можете напрямую использовать тот факт, что - нечетная функция, а пределы интеграла - симметрия.xex2/2

Глубокий Север
источник
4
Аргумент симметрии работает только в том случае, если обе половины сами сходятся.
Glen_b
Не могли бы вы объяснить, что происходит во втором ряду?
ммч
Комментарий Глена верен, если он не сходится, то изменение переменных не будет работать
Глубокий север
1
Вторая строка равна первой строке, так как также отмечают отрицательный знак в начале. Затем вы можете подумать об изменении переменной для интеграции, затем вы вернете ее обратно, поскольку пределы не изменились. Или вы можете использовать интегрировать по частям. И помните d(x22)=xdxabeydy=eyab
Глубокий север
1
Чтобы использовать симметрию, чтобы получить среднее значение, вам нужно знать, что сходится - это имеет место для этого случая, но в целом вы не можете этого допустить. Например, аргумент симметрии сказал бы, что среднее значение стандартного Коши равно 0, но у него его нет. 0xf(x)dx
Glen_b
10

Поскольку вы хотите изучить методы вычисления ожиданий и некоторые простые способы, вам понравится использовать функцию генерирования моментов (mgf).

ϕ(t)=E[etX].

Метод работает особенно хорошо, когда функция распределения или ее плотность даны как экспоненты. В этом случае вам не нужно делать какую-либо интеграцию после того, как вы наблюдаете

t2/2(xt)2/2=t2/2+(x2/2+txt2/2)=x2/2+tx,

потому что, записывая стандартную функцию нормальной плотности в как (для константы , значение которой вам не нужно знать), это позволяет вам переписать ее mgf какxCex2/2C

ϕ(t)=CRetxex2/2dx=CRex2/2+txdx=et2/2CRe(xt)2/2dx.

В правой части, после члена , вы узнаете интеграл от общей вероятности нормального распределения со средним значением и единицей дисперсии, который, следовательно, равен . следовательноet2/2t1

ϕ(t)=et2/2.

Так как нормальная плотность становится малой при больших значениях так быстро, проблем сходимости не возникает, независимо от значения . узнаваемо аналитичен в , что означает, что он равен серии Маклауринаtϕ0

ϕ(t)=et2/2=1+(t2/2)+12(t2/2)2++1k!(t2/2)k+.

Однако, поскольку сходится абсолютно для всех значений , мы также можем написатьetXtX

E[etX]=E[1+tX+12(tX)2++1n!(tX)n+]=1+E[X]t+12E[X2]t2++1n!E[Xn]tn+.

Два сходящихся степенных ряда могут быть равны только в том случае, если они равны от термина к члену, откуда (сравнение членов, включающих )t2k=tn

1(2k)!E[X2k]t2k=1k!(t2/2)k=12kk!t2k,

подразумевая

E[X2k]=(2k)!2kk!, k=0,1,2,

(и все ожидания нечетных степеней равны нулю). Практически без усилий вы получили ожидания всех положительных интегральных степеней одновременно.XX


Вариации этого метода могут работать так же хорошо в некоторых случаях, например, при условии, что диапазон соответственно ограничен. Однако, mgf (и его близкие родственники характеристической функции ) настолько полезны, что вы найдете их в таблицах свойств распределения, например, в записи Википедии о нормальном распределении .X E [ e i t X ]E[1/(1tX)]=E[1+tX+(tX)2++(tX)n+]X E[eitX]

Whuber
источник