Как рассчитать ожидаемое значение стандартного нормального распределения?

Я хотел бы узнать, как рассчитать ожидаемое значение непрерывной случайной величины. Представляется , что ожидаемое значение , где является функция плотности вероятности .е ( х )

$$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\mathrm{d}x$$ $f(x)$$X$

Предположим, что функция плотности вероятности  имеет вид который является плотностью стандартное нормальное распределение.f ( x ) = $X$

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^{2}}{2}}$$

Итак, я бы сначала подключил PDF и получил который выглядит довольно грязно. Константа может быть перемещена за пределы интеграла, давая

$$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x$$ E[X]=$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ $$E[X] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} xe^{\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x.$$

Я застрял здесь. Как рассчитать интеграл? Я делаю это правильно это далеко? Это самый простой способ получить ожидаемое значение?

Вы почти на месте, следуйте своему последнему шагу:

$$E[X] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} xe^{\displaystyle\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x\\=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/2}d(-\frac{x^2}{2})\\=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\mid_{-\infty}^{\infty}\\=0$$ .

Или вы можете напрямую использовать тот факт, что - нечетная функция, а пределы интеграла - симметрия.$xe^{-x^2/2}$

Поскольку вы хотите изучить методы вычисления ожиданий и некоторые простые способы, вам понравится использовать функцию генерирования моментов (mgf).

$$\phi(t) = E[e^{tX}].$$

Метод работает особенно хорошо, когда функция распределения или ее плотность даны как экспоненты. В этом случае вам не нужно делать какую-либо интеграцию после того, как вы наблюдаете

$$t^2/2 -\left(x - t\right)^2/2 = t^2/2 + (-x^2/2 + tx - t^2/2) = -x^2/2 + tx,$$

потому что, записывая стандартную функцию нормальной плотности в как (для константы , значение которой вам не нужно знать), это позволяет вам переписать ее mgf как$x$$C e^{-x^2/2}$$C$

$$\phi(t) = C\int_\mathbb{R} e^{tx} e^{-x^2/2} dx = C\int_\mathbb{R} e^{-x^2/2 + tx} dx = e^{t^2/2}C\int_\mathbb{R} e^{-(x-t)^2/2} dx .$$

В правой части, после члена , вы узнаете интеграл от общей вероятности нормального распределения со средним значением и единицей дисперсии, который, следовательно, равен . следовательно$e^{t^2/2}$$t$$1$

$$\phi(t) = e^{t^2/2}.$$

Так как нормальная плотность становится малой при больших значениях так быстро, проблем сходимости не возникает, независимо от значения . узнаваемо аналитичен в , что означает, что он равен серии Маклаурина$t$$\phi$$0$

$$\phi(t) = e^{t^2/2} = 1 + (t^2/2) + \frac{1}{2} \left(t^2/2\right)^2 + \cdots + \frac{1}{k!}\left(t^2/2\right)^k + \cdots.$$

Однако, поскольку сходится абсолютно для всех значений , мы также можем написать$e^{tX}$$tX$

$$E[e^{tX}] = E\left[1 + tX + \frac{1}{2}(tX)^2 + \cdots + \frac{1}{n!}(tX)^n + \cdots\right] \\ = 1 + E[X]t + \frac{1}{2}E[X^2]t^2 + \cdots + \frac{1}{n!}E[X^n]t^n + \cdots.$$

Два сходящихся степенных ряда могут быть равны только в том случае, если они равны от термина к члену, откуда (сравнение членов, включающих )$t^{2k} = t^n$

$$\frac{1}{(2k)!}E[X^{2k}]t^{2k} = \frac{1}{k!}(t^2/2)^k = \frac{1}{2^kk!} t^{2k},$$

подразумевая

$$E[X^{2k}] = \frac{(2k)!}{2^kk!},\ k = 0, 1, 2, \ldots$$

(и все ожидания нечетных степеней равны нулю). Практически без усилий вы получили ожидания всех положительных интегральных степеней одновременно.$X$$X$

---

Вариации этого метода могут работать так же хорошо в некоторых случаях, например, при условии, что диапазон соответственно ограничен. Однако, mgf (и его близкие родственники характеристической функции ) настолько полезны, что вы найдете их в таблицах свойств распределения, например, в записи Википедии о нормальном распределении .X E [ e i t X$E[1/(1-tX)] = E[1 + tX + (tX)^2 + \cdots + (tX)^n + \cdots]$$X$ $E[e^{itX}]$