Почему CDF образца равномерно распределен

Я читал здесь , что данный образец $X_1,X_2,...,X_n$ из непрерывного распределения с cdf $F_X$ , выборка, соответствующая $U_i = F_X(X_i)$ следует стандартному равномерному распределению.

Я проверил это, используя качественное моделирование в Python, и мне было легко проверить связь.

import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats

xs = scipy.stats.norm.rvs(5, 2, 10000)

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(9, 3))
axes[0].hist(xs, bins=50)
axes[0].set_title("Samples")
axes[1].hist(
    scipy.stats.norm.cdf(xs, 5, 2),
    bins=50
)
axes[1].set_title("CDF(samples)")

В результате получается следующий сюжет:

Я не могу понять, почему это происходит. Я предполагаю, что это связано с определением CDF и его отношением к PDF, но я что-то упустил ...

Я был бы признателен, если бы кто-то мог указать мне на чтение по этой теме или помочь мне получить некоторую интуицию по этому вопросу.

РЕДАКТИРОВАТЬ: CDF выглядит следующим образом:

Предположим, что непрерывно и возрастает. Определите Z = F X ( X ) и обратите внимание, что Z принимает значения в [ 0 , 1 ] . Тогда F Z ( x ) = P ( F X ( X ) ≤ x ) = P ( X ≤ F - 1 X ( x ) ) = F X ( F $F_X$$Z = F_X(X)$$Z$$[0, 1]$

С другой стороны, если является равномерной случайной величиной, которая принимает значения в [ 0 , 1 ] , F U ( x ) = ∫ R f U ( u $U$$[0, 1]$

Таким образом, для любого x ∈ [ 0 , 1 ] .$F_Z(x) = F_U(x)$$x\in[0, 1]$

$F(x)$$F(x)$$F$$x$$F^{-1}$$x = F^{-1}(p)$$x$$p$$F \circ F^{-1} =_\lambda F^{-1} \circ F$

$F$$a < b$$P(F^{-1}(a) < x < F^{-1}(b)) = P(a < F(X) < b) = b-a$