Я прочитал из своего учебника, что не гарантирует, что X и Y независимы. Но если они независимы, их ковариация должна быть 0. Я пока не мог придумать ни одного правильного примера; кто-то может предоставить один?
independence
covariance
Летающая свинья
источник
источник
Ответы:
Простой пример: пусть будет случайной величиной, равной или с вероятностью 0,5. Тогда пусть будет случайной величиной, такой, что если , и будет случайным образом или с вероятностью 0,5, если .- 1 + 1 Y Y = 0 X = - 1 Y - 1 + 1 X = 1X −1 +1 Y Y=0 X=−1 Y −1 +1 X=1
Ясно, что и сильно зависят (поскольку знание позволяет мне точно знать ), но их ковариация равна нулю: они оба имеют нулевое среднее значение, иY Y XX Y Y X
Или, в более общем случае, возьмем любое распределение и любое такое, что для всех (т. Е. Совместное распределение, которое является симметричен относительно оси ), и вы всегда будете иметь нулевую ковариацию. Но вы будете иметь независимость всякий раз, когда ; условные выражения не все равны предельному. Или то же самое для симметрии вокруг осиP(X) P(Y|X) P(Y=a|X)=P(Y=−a|X) X x P(Y|X)≠P(Y) y
источник
Вот пример, который я всегда даю студентам. Возьмем случайную переменную с и , например, нормальную случайную переменную с нулевым средним. Возьмите . Ясно, что и связаны, ноX EX=0 EX3=0 Y=X2 X Y
источник
Изображение ниже (исходная Википедия ) имеет ряд примеров в третьей строке, в частности первый и четвертый примеры имеют сильную зависимую связь, но 0 корреляцию (и 0 ковариацию).
источник
В некоторых других примерах рассмотрим точки данных, которые образуют круг или эллипс, ковариация равна 0, но, зная x, вы сужаете y до 2 значений. Или данные в квадрате или прямоугольнике. Также данные, которые образуют X, или V, или ^, или <или>, все дают ковариацию 0, но не являются независимыми. Если y = sin (x) (или cos) и x охватывает целое число, кратное периодам, то cov будет равно 0, но, зная x, вы знаете y или, по крайней мере, | y | в эллипсе, x, <и> случаях.
источник