10 голов подряд повышают вероятность того, что следующий бросок будет хвостом?

57

Я предполагаю, что верно следующее: при условии честной монеты, получение 10 голов подряд при подбрасывании монеты не увеличивает вероятность того, что следующая монета окажется хвостом , независимо от того, какое количество вероятности и / или статистического жаргона подброшено вокруг (извините за каламбур).

Предполагая, что это так, мой вопрос заключается в следующем: как, черт возьми, я могу убедить кого-то, что это так?

Они умны и образованны, но, похоже, полны решимости не учитывать, что я могу быть прав в этом (аргумент).

user68492
источник
15
Какие аргументы они приводят в свою позицию? Возможно, вы могли бы обратить внимание на то, что у монеты нет памяти. (В качестве альтернативы вы могли бы научить их, делая ставки на следующий бросок и давая им реальные крутые шансы - повторяйте, пока они не потеряют
кучу
36
Это известно как заблуждение игрока
Дан
6
Если то, что они говорят, правда, вам нужно было бы записывать каждый бросок монеты, так как монета была отчеканена, чтобы знать, является ли она «честной монетой»
Мики Маус
10
Ключевым моментом здесь является то, является ли это реальной монетой или гипотетической. В статистике получение 10 голов ничего не значит, а вероятность следующей - 50/50. В реальной жизни, если щелкнуть 10 головами, я бы внимательно изучил монету.
anaximander
14
Задайте этот вопрос своему другу: предположим, что каждый из нас по десять человек подбрасывает по десять монет одновременно, пока все десять не придут в голову . В тот момент, когда это происходит - что вы можете сделать менее чем за час - у вас одиннадцатый человек подбрасывает одиннадцатую монету. Спросите своего друга: у этого одиннадцатого человека больше шансов перевернуть хвост? Если они скажут «да», попросите их объяснить, почему люди, заинтересованные в бросках монет - скажем, футбольные команды - не используют эту технику, чтобы изменить шансы в свою пользу. Если они скажут «нет», попросите их объяснить разницу между двумя сценариями.
Эрик Липперт

Ответы:

76

они пытаются утверждать, что [...] если было 10 голов, то следующая в последовательности, скорее всего, будет хвостом, потому что статистика говорит, что в конце она выровняется

Есть только «балансировка» в очень особом смысле.

Если это честная монета, то она все равно 50-50 на каждый бросок. Монета не может знать свое прошлое . Он не может знать, что был избыток голов. Он не может компенсировать свое прошлое. Когда - либо . это просто случайные головы или хвосты с постоянным шансом головы.

Если - количество голов в ( - количество хвостов), то для справедливой монеты будет стремиться к 1, так как уходит в бесконечность .... ноне идет к 0. На самом деле, это также идет к бесконечности! n = n H + n T n T n H / n T n H + n T | n H - n T |nHn=nH+nTnTnH/nTnH+nT|nHnT|

То есть ничто не действует, чтобы сделать их более ровными. Подсчет не склонен к «балансировке». В среднем, дисбаланс между количеством голов и хвостов действительно увеличивается!

Вот результат 100 подходов по 1000 бросков, причем серые следы показывают разницу в количестве головы за вычетом количества хвостов на каждом шаге.

введите описание изображения здесь

Серые следы (представляющие ) являются случайным блужданием Бернулли. Если вы думаете, что частица движется вверх или вниз по оси y на единичный шаг (случайным образом с равной вероятностью) на каждом временном шаге, то распределение положения частицы будет «рассеиваться» от 0 с течением времени. Он все еще имеет ожидаемое значение 0, но его ожидаемое расстояние от 0 увеличивается как квадратный корень из числа временных шагов. [Примечание для тех, кто думает « говорит ли он об ожидаемой абсолютной разнице или среднеквадратичной разнице » - на самом деле либо: для больших первое равно 80% от второго.] n nHnTn2/π

Синяя кривая выше в а зеленая кривая в . Как видите, типичное расстояние между общими головами и общими хвостами увеличивается. Если бы что-то действовало, чтобы «восстановить равенство» - «восполнить» отклонения от равенства - они бы обычно не росли дальше, как это. (Нетрудно показать это алгебраически, но я сомневаюсь, что это убедит вашего друга. Критическая часть состоит в том, что дисперсия суммы независимых случайных величин является суммой дисперсий см. Конец связанного раздела - каждый Когда вы добавляете еще один бросок монеты, вы добавляете постоянную сумму к дисперсии суммы ... так что дисперсия должна расти пропорционально ±2±n <>n±2n <>n, Следовательно, стандартное отклонение увеличивается с . Константа, которая добавляется к дисперсии на каждом шаге в этом случае, равна 1, но это не имеет решающего значения для аргумента.)n

Эквивалентно, имеет значение поскольку общее число бросков уходит в бесконечность, но только потому, что уходит в бесконечность намного быстрее, чемделает.|nHnT|nH+nT0nH+nT|nHnT|

Это означает, что если мы разделим этот кумулятивный счет наn на каждом шаге, он изменится - типичная абсолютная разница в количестве составляет порядка , но типичная абсолютная разница в пропорции должна быть порядка .n1/n

введите описание изображения здесь

Это все, что происходит. Все более крупные * случайные отклонения от равенства просто « смываются » еще большим знаменателем.

* увеличение в типичном абсолютном размере

Смотрите небольшую анимацию на полях, здесь

Если ваш друг не убежден, бросьте несколько монет. Каждый раз, когда вы говорите три головы подряд, заставьте его или ее назначить вероятность для головы на следующем броске (это менее 50%), которую он считает справедливой по его рассуждению. Попросите их дать вам соответствующие шансы (то есть он или она должны быть готовы заплатить чуть больше 1: 1, если вы делаете ставку на головы, так как они настаивают на том, что хвосты более вероятны). Лучше всего, если каждая ставка будет сделана за небольшую сумму денег. (Не удивляйтесь, если есть какое-то оправдание тому, почему они не могут взять свою половину ставки - но это, по крайней мере, значительно снижает страсть, с которой удерживается позиция.)

[Однако все это обсуждение основано на честности монеты. Если бы монета не была честной (50-50), то потребовалась бы другая версия обсуждения - основанная на отклонениях от ожидаемой пропорции-разницы. Наличие 10 голов в 10 бросках может вызвать подозрение в предположении, что р = 0,5. Монета с хорошим броском должна быть близка к справедливой - взвешенной или нет - но на самом деле все еще демонстрирует небольшой, но эксплуатируемый уклон , особенно если человек, эксплуатирующий ее, является кем-то вроде Перси Диакониса. Вращающиеся монеты, с другой стороны, могут быть весьма подвержены смещению из-за большего веса на одном лице.]

Glen_b
источник
3
Для доказательства ставки, возможно, получите 2 £ / $ (что бы вы ни использовали) в монетах 1p / 1cent. Делайте ставки, как указано выше, с его запрошенными коэффициентами, основанными на вероятности предыдущих ставок, пока один из вас не получит все деньги другого. Как только вы заберете его деньги 100 раз, ему будет труднее спорить.
Джон Стори
1
+1 за идею ставки. Потеря денег кажется убедительным аргументом ...
Эрел Сегал-Халеви
2
Небольшой комментарий относительно вашего последнего утверждения (в []). По словам Эндрю Гельмана, нет такой вещи, как нечестная монета .
Хенрик
@Henrik, я уже ссылаюсь на эту статью в своем посте. Вы можете проверить другую ссылку в предложении, в котором я ссылаюсь на него. Вы можете найти это довольно поучительным. Хотя монеты могут (в определенном смысле Гельмана) быть «честными», в другом смысле (насколько я помню, чувство, которое Диаконис может многократно использовать в демонстрациях - будучи квалифицированным магом и статистиком) - результат бросить это может быть довольно далеко от ярмарки.
Glen_b
2
nn
31

Путаница в том, что он смотрит на вероятность с самого начала, не смотря на то, что еще уже произошло.

Позволяет упростить вещи:

Первый бросок:

T

Теперь вероятность Т была 50%, поэтому 0,5.

Вероятность того, что следующим броском снова будет Т, равна 0,5.

TT 0.5
TF 0.5

Тем не менее, как насчет первого флип? Если мы включим это тогда:

TT 0.25
TF 0.25

Остальные 50% начинаются с F и снова имеют четное разделение между T и F.

Чтобы расширить это до десяти хвостов подряд - вероятность того, что вы уже получили, составляет 1/1024.

Вероятность того, что следующим является T или F, составляет 50%.

Таким образом, шанс с начала 11 хвостов равен 1 в 2048 году. Вероятность того, что уже 10 раз перевернутый хвост будет повторять хвост, также равна 50%.

Они пытаются применить вероятность 1 к 1024 с вероятностью 10 Т к вероятности другого Т, когда на самом деле это уже произошло, поэтому вероятность того, что это произойдет, больше не важна.

11 хвостов подряд не более или менее вероятны, чем 10 хвостов, за которыми следует одна голова.

Вероятность того, что 11 бросков - все хвосты, маловероятна, но, поскольку это уже произошло, это уже не имеет значения!

Тим Б
источник
6
Я думаю, что это действительно самый точный ответ. Я думаю, что отчасти проблема заключается в том, что люди довольно педантично утверждают, что шанс на то, что следующая монета окажется головой, всегда составляет 50%, что, очевидно, верно. Я думаю, что совершенно очевидно, что когда люди «не верят» в это, они, очевидно, говорят о вероятности получить 10 подряд, а не только 1. Приходя к выводу, что, безусловно, меньше вероятность получить 10 голов подряд, чем это, чтобы получить 1 голову в 1 щелчок, в значительной степени положит конец «дебатам».
Кик
13

Вероятность того, что следующим броском будет хвост, все еще равна 50-50.

Очень простое объяснение: шансы перевернуть 10 голов + 1 хвост в этом порядке очень низки. Но к тому времени, когда вы перевернули 10 голов, вы уже преодолели большинство шансов ... у вас есть 50-50 шансов закончить последовательность со следующим броском монеты.

Джеймс К
источник
11

Вы должны попытаться убедить их, что если предыдущие результаты повлияли на предстоящие броски, то должны были быть приняты во внимание не только последние 10 бросков, но и каждый предыдущий бросок в жизни монеты.

Я думаю, что это более логичный подход.

Артур Риццо
источник
1
Этот. Здравый смысл - лучший способ объяснить проблему игрока, поскольку здравый смысл - причина. Начните свое опровержение с чего-то вроде этого ответа, и они быстро придут к выводу, что сами по себе ошибаются. Тогда они будут полностью восприимчивы к правильным рассуждениям.
Талрну
1
Почему именно эта монета? Почему не каждую монету бросили?
Кольм
7

Это не совсем ответ - ваша проблема психологическая, а не математическая. Но это может помочь.

sometimes210103

Этан Болкер
источник
7

1/2

xn11,12,,n+10.

limnxn/n=1/2
limn10+xnn+10=1/2
10+50000010000100.5
Итак, в пределе первые 10 хвостов вообще не имеют значения, их эффект «размыт» всеми последующими бросками. Таким образом, нет необходимости в «балансировке» для удержания предельного результата. Математически, это просто использование факта, что предел (если существует ...) любой последовательности чисел вообще не зависит ни от какого конечного начального сегмента! Таким образом, мы можем произвольно назначить результаты для первых десяти (или первых сотен) бросков, не влияя на предел вообще. Я думаю, что этот способ объяснить это своим друзьям-азартным игрокам (возможно, с большим количеством цифр и примеров и меньшим количеством алгебры ...) может быть лучшим способом.

Другой аспект : после десяти бросков десять хвостов, возможно, кто-то начинает сомневаться в том, что монета хорошая, соответствует простой обычной модели независимых одинаковых вероятностных бросков. Предполагая, что «tosser» (человек, выполняющий бросание) не был обучен тому, как каким-либо образом контролировать броски, и действительно бросает честно, вероятность хвоста должна составлять половину ( см. Эту статью Гельмана ).

Итак, в альтернативной гипотезе должна быть некоторая зависимость между бросками монет! И, увидев десять хвостов подряд, доказательство того, что зависимость является положительной, так что один хвост увеличивает вероятность того, что следующий бросок монеты будет хвостом. Но затем, после этого анализа, разумный вывод состоит в том, что вероятность того, что одиннадцатый бросок будет хвостом, увеличивается , а не уменьшается! Таким образом, вывод, в этом случае, противоположен вашим игрокам, друзьям.

Я думаю, вам понадобится очень странная модель, чтобы оправдать свои выводы.

Къетил б Халворсен
источник
4

Предполагая, что броски монет независимы, это очень легко доказать от одного статистика к другому. Тем не менее, ваш друг, похоже, не верит, что подбрасывание монет является независимым. Кроме разбрасывания слов, которые являются синонимами независимых (например, у монеты нет «памяти»), вы не можете доказать ему, что броски монет независимы с помощью простого аргумента слова. Я бы предложил использовать симуляцию, чтобы отстаивать свои претензии, но, если честно, если ваш друг не верит, что броски монет независимы, я не уверен, что он поверит в результаты симуляции.

TrynnaDoStat
источник
4

Чтобы переформулировать некоторые объяснения, которые уже были даны (@TimB и @James K), после того, как вы перевернули монету 10 раз и получили 10 голов, вероятность получить 10 голов подряд составляет ровно 1,0! Это уже произошло, поэтому вероятность того, что это произошло, теперь фиксирована.

Когда вы умножаете это на вероятность получения голов на следующем броске (0,5), вы получаете ровно 0,5.

Ставка на хвосты с ничем иным, кроме четных шансов в этой точке, является ставкой сосунка.

Терри Л.
источник
4

Допустим, я убежден, что монета справедлива. Если монета была честной, то вероятность наличия 10 голов подряд - это Итак, как частый человек со значением , я должен отвергнуть : монета справедлива и сделать вывод, что : «что-то подозрительное» - правда. Нет, я не могу настаивать на том, что вероятность увидеть другую голову все еще

p10=(12)10=11024<0.1%
α=1%H0Ha12

Я оставлю это вам, чтобы применить байесовский подход и прийти к аналогичному выводу. Вы начнете с предыдущей вероятности появления голов , а затем обновите ее с наблюдением за 10 головами подряд, и вы увидите, как задняя вероятность появления головокp=12π>12

Пример UPDATE @oerkelens можно интерпретировать двумя способами.

  • ваш друг сделал ставку на THHTTHTTHT, затем бросил монету 10 раз и получил: THHTTHTTHT. В этом случае вы будете удивлены 10 головами подряд и начнете сомневаться в справедливости монеты. Вы не уверены, что думать о вероятности хвоста в следующем броске, потому что ваш друг, кажется, в состоянии получить именно то, что он хочет, это не случайно.
  • вы бросили монету 10 раз и увидели какую-то комбинацию, которая оказалась THHTTHTTHT, вы заметите, что там было 6 хвостов и 4 головы, то есть , что ничем не примечательно. Следовательно, вероятность хвоста в следующем броске, вероятно, равна , поскольку нет оснований сомневаться в его справедливости.1p=10!6!4!2100.212

Также можно утверждать, что хотя 0,001 - это малая вероятность, если вы бросите 10 монет 100 000 раз, вы обязательно увидите несколько комбинаций из 10 голов. Да, но в этом случае у вас есть 1 миллион бросков монет, и вы ищете по крайней мере одну комбинацию из 10 голов в последовательности. Частотная вероятность наблюдения по крайней мере одной комбинации из 10 голов рассчитывается следующим образом: Таким образом, частый будет заключать после долгих месяцев бросания монеты 1 миллион раз и наблюдения комбинации из 10 голов, ничего страшного, вещи случаются. Он не будет вносить никаких корректировок в свои ожидания относительно вероятности следующей головы и оставит ее на уровне 0,5.

1(1210)100,0001

ДЛЯ ЛЮДЕЙ КОМПЬЮТЕРА Если ваши друзья программисты, то я обнаружил, что самый простой способ обратиться к их интуиции - программирование. Попросите их запрограммировать эксперимент по подбрасыванию монет. Они немного подумают, а потом придумают что-то вроде этого:

for i=1:11
   if rand()>0.5 
       c='H';
   else
       c='T';
   end
   fprintf('%s',c)
end
disp '.'

THTHTHTHHHT.

Вы спросите их

где твой код для обработки 10 голов подряд здесь? Похоже, что в вашем коде, независимо от того, что произошло в первых 10 циклах, 11-й бросок имеет 0,5 вероятности появления голов.

Тем не менее, этот случай обращается к честному броску монеты. Код разработан с честным броском монеты. Тем не менее, в случае 10 голов весьма маловероятно, что монета справедлива.

Аксакал
источник
Но ОП хочет убедить своих друзей, и эти друзья считают, что шанс на другую голову меньше, чем 1/2.
oerkelens
Вот как вам удобно формулировать и интерпретировать его вопрос. Вы когда-нибудь видели 10 голов подряд с честной монетой?
Аксакал
3
Я не подставляю, я читаю :) Вопрос гласит: увеличивают ли 10 голов подряд шанс следующего броска быть хвостом? Ошибка Игрока. Ваш подход интересен, но он не отвечает, почему в случае честной монеты шансы все равно будут 50/50 :) Учитывая возможность увидеть 10 голов подряд с честной монетой, позвольте мне спросить вас, видели ли вы когда-нибудь следующее серия: что? Потому что это так же маловероятно, как видеть HHHHHHHHHH. Как ни странно, в этой серии ваша формула также должна решить, что монета несправедлива.
oerkelens
@oerkelens, обновил мой ответ на ваш комментарий, спасибо
Аксакал
3

В идеальных условиях ответ - нет. Каждый бросок не зависит от того, что было раньше. Так что, если это действительно честная монета, то это не имеет значения. Но если вы не уверены, является ли монета неисправной или нет (что может случиться в реальной жизни), длинная последовательность хвостов может привести к убеждению, что она несправедлива.

Николас Бурбаки
источник
3
Нет нет нет! Нет такой вещи как «нечестная монета». Это просто справочник по статистике. См .: stat.columbia.edu/~gelman/research/published/diceRev2.pdf
Тим
@Tim Что, если у монеты есть головы обеих сторон? Если серьезно, я понимаю, что вы говорите. Нет монет, которые выглядят подлинно, но не сбалансированы. Я не знал этого.
Николас Бурбаки
1
@Tim Ну, я занимаюсь математикой, поэтому мне все равно, реалистична ли концепция! Я просто притворяюсь, что есть такая монета ради примера. Но в будущем, если мне когда-нибудь снова придется преподавать теорию вероятностей, я скажу студентам, что реально таких монет не существует.
Николас Бурбаки
1
@ Тим IIRC, нет такой вещи, как несправедливая монета для всех практических целей и целей, однако это не означает, что любая монета является абсолютно справедливой. Если у вас бесконечный размер выборки, вы можете обнаружить сколь угодно малые «статистически значимые» различия, и ни один объект реального мира никогда не будет вести себя точно так, как предполагает его теоретическая модель.
Дикран Marsupial
1
@ В этой ссылке не говорится, что нет «несправедливой монеты», в частности говорится, что в случае подбрасывания монеты это не несправедливо (и даже при этом используется рука человека, а не гравитация), и это доказано эмпирически студенты подбрасывают монеты. Исследование не сравнивает монету с кубиком должным образом, поскольку утверждает, что кости могут быть взвешены, но не пытается бросить их в руку.
user-2147482637 10.02.15
3

Этот ответ будет работать для всех вопросов такого рода, включая проблему Монти Холла. Просто спросите их, что они думают о вероятности получить хвост после десяти голов. Предложите сыграть их немного лучше (для них), но все еще под 50-50 шансов. Если повезет, они согласятся, чтобы компьютер сделал переворот, и в этом случае у вас быстро будет сумма денег в вашем кармане. В противном случае это займет больше времени, но результат (неизбежно) тот же.

aginensky
источник
+1. Конечно, сначала нужно набраться терпения, чтобы подбрасывать монету, пока не подойдут десять голов подряд!
whuber
Да, и кто хочет ждать в среднем 2046 сальто, чтобы увидеть это?
Soakley
и именно поэтому я сказал, что если ему повезет, они примут компьютерные сальто. Тем не менее, это бесплатные деньги для верующих в МП и дешевый урок для неверующих. Я, конечно, никогда не предлагал оперу задержать дыхание в ожидании события. Кроме того, нет ничего волшебного в 10, они должны были бы поверить, что 9, 8, ... даже 2 головы подряд влияют на шансы. Теперь время ожидания
подбрасывания
0

Как бы вы их убедили? Один из способов - показать распределение результатов по точно описанной проблеме.

#1,000,000 observations
numObservations <- 1e+6
#11 coin tosses per sample
numCoinTosses <- 11

sampledCoinTosses <- matrix(sample(c(-1,1),numObservations*numCoinTosses,replace=TRUE),
                        nrow = numObservations, ncol = numCoinTosses)
sampledCoinTosses <- cbind(sampledCoinTosses,apply(sampledCoinTosses[,1:numCoinTosses - 1],1,sum))
#Where the sum of the first ten observations is 10, this corresponds to 10 heads.
tenHeadsObservations <- sampledCoinTosses[which(sampledCoinTosses[,numCoinTosses + 1] == 10),]
#By looking at the summary of the 11th coin toss we can see how close the average value is to 0
summary(tenHeadsObservations[,numCoinTosses])
Генри Э
источник
-3

100.510

  • 0.510
  • 0.511

И разница между ними - всего лишь одна честная монета.

coulminer
источник
В первом пункте, что такое «событие», на которое вы ссылаетесь?
whuber
даже «быть там», извините заметил опечатку
coulminer
1
0.510
0.5 ^ 10 * 1 ^ 1 Я просто живу во вселенной, где нас заботит только общее количество голов подряд
кулминер
Я не понимаю После десятой головы у следующего броска есть 50% -ый шанс посадки голов, но вы говорите, что это на самом деле немного менее вероятный результат. Это то, что вы говорите?
Smig