Если X и Y некоррелированы, X ^ 2 и Y также некоррелированы?

Если две случайные величины и некоррелированы, можем ли мы также знать, что и некоррелированы? Моя гипотеза - да. $X$ $Y$ $X^2$ $Y$

$X, Y$ некоррелированный означает или $E[XY]=E[X]E[Y]$

E [X Y] = \int x y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y = E [X] E [Y]

$E[XY]=\int xy f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int xf_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X]E[Y]$

Означает ли это также следующее?

E [X^{2} Y] = \int x^{2} y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x^{2} f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y = E [X^{2}] E [Y]

$E[X^2Y]=\int x^2y f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int x^2f_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X^2]E[Y]$

random-variable independence Вегард Стикбакке
источник

Да. Этот вопрос уже задавался и был дан ответ, но я не могу найти конкретную ссылку с моего мобильного устройства.

Дилип

@DilipSarwate кажется, что принятый ответ уже дает встречный пример.

Вим

@DilipSarwate Вы, должно быть, имели в виду «Нет» вместо «Да» в своем комментарии!

говорит амеба, восстанови Монику

@amoeba Первоначальная версия вопроса о независимости, на который действительно дан ответ Да. С тех пор он был отредактирован, чтобы спросить о некоррелированных случайных переменных. Я не могу изменить свой комментарий сейчас.

Дилип Сарвате

Первоначальный вопрос был довольно запутанным, поскольку он использовал неправильное определение независимости. Текущий вопрос все еще запутан, поскольку он утверждает, что он не коррелирует с неправильным выводом (предполагается, что ). Я надеюсь, что @vegardstikbakke прочитает правильные определения независимых и некоррелированных, с некоторыми примерами.

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

Мени Розенфельд

Ответы:

Нет. Контрпример:

Пусть равномерно распределено на , . $X$ $[-1, 1]$ $Y = X^2$

Тогда а также ( - нечетная функция), поэтому некоррелированы. $E[X]=0$ $E[XY]=E[X^3]=0$ $X^3$ $X,Y$

Но $E[X^2Y] = E[X^4] = E[{X^2}^2] > E[X^2]^2 = E[X^2]E[Y]$

Последнее неравенство следует из неравенства Дженсена. Это также следует из того факта, что поскольку не является константой. $E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 = Var(X) > 0$ $X$

Проблема с вашими рассуждениями в том, что может зависеть от и наоборот, поэтому ваше предпоследнее равенство неверно. $f_X$ $y$

Якуб Барчук
источник

Нет необходимости усложнять ситуацию с неравенством Дженсена;

представляет собой неотрицательное случайная величина, а не

сор 1, так что

(или вы можете просто сделать

и легко увидеть свои положительные).

X^{4}

$X^4$

0

$0$

E [X^{4}] > 0

$E[X^4] >0$

\int_{- 1}^{1} x^{4} d x

$\int_{-1}^1 x^4 dx$

Бэтмен

Вы также должны добавить сюжет. Я рассматривал подобный пример (Y = | X | на -1: +1), но представил бы это визуально.

Anony-Mousse

@ Бэтмен Я действительно не понимаю, как это даст вам что-нибудь, потому что нам интересно, если

E [{X^{2}}^{2}] - E [X^{2}]^{2} > 0

$E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 > 0$

Якуб Бартчук

@ Anony-Mousse Нет необходимости ограничивать Y. Y = | X | соответствует требованию

Лорен Печтел

ЛоренПехтель для визуализации. Потому что ИМХО лучше понять, почему это может произойти, а не только то, что математический результат такой, как хотелось бы.

Anony-Mousse

Даже если , не только возможно, что и коррелированы, но они могут даже быть идеально коррелированными, с : $\operatorname{Corr}(X,Y)=0$ $X^2$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(1,0,1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 1

Или : $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=-1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(-1,0,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] -1

Если вы не можете прочитать R-код , первый пример эквивалентен рассмотрению двух случайных величин и с совместным распределением, так что равной вероятностью будет , или . В совершенно отрицательно коррелированном примере равной вероятностью будет $X$ $Y$ $(X,Y)$ $(-1,1)$ $(0,0)$ $(1,1)$ $(X,Y)$ , или . $(-1,-1)$ $(0,0)$ $(1,-1)$

Тем не менее, мы также можем построить и , чтобы , поэтому возможны все крайности: $X$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=0$

> x <- c(-1,-1,0,1,1); y <- c(1,-1,0,1,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 0

тарпон
источник

$E[h(X,Y)]$

E [h (X, Y)] = \int h (x, y) f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_X(x)f_Y(y)dxdy$

E [h (X, Y)] = \int h (x, y) f_{X Y} (x, y) d x d y .

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_{XY}(x,y)dxdy.$

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

f (X)

$f(X)$

g (Y)

$g(Y)$

Лука Чити
источник