Если X и Y некоррелированы, X ^ 2 и Y также некоррелированы?

29

Если две случайные величины и некоррелированы, можем ли мы также знать, что и некоррелированы? Моя гипотеза - да.Y X 2 YXYX2Y

E [ X Y ] = E [ X ] E [ Y ]X,Y некоррелированный означает илиE[XY]=E[X]E[Y]

E[XY]=xyfX(x)fY(y)dxdy=xfX(x)dxyfY(y)dy=E[X]E[Y]

Означает ли это также следующее?

E[X2Y]=x2yfX(x)fY(y)dxdy=x2fX(x)dxyfY(y)dy=E[X2]E[Y]
Вегард Стикбакке
источник
4
Да. Этот вопрос уже задавался и был дан ответ, но я не могу найти конкретную ссылку с моего мобильного устройства.
Дилип
2
@DilipSarwate кажется, что принятый ответ уже дает встречный пример.
Вим
8
@DilipSarwate Вы, должно быть, имели в виду «Нет» вместо «Да» в своем комментарии!
говорит амеба, восстанови Монику
11
@amoeba Первоначальная версия вопроса о независимости, на который действительно дан ответ Да. С тех пор он был отредактирован, чтобы спросить о некоррелированных случайных переменных. Я не могу изменить свой комментарий сейчас.
Дилип Сарвате
Первоначальный вопрос был довольно запутанным, поскольку он использовал неправильное определение независимости. Текущий вопрос все еще запутан, поскольку он утверждает, что он не коррелирует с неправильным выводом (предполагается, что ). Я надеюсь, что @vegardstikbakke прочитает правильные определения независимых и некоррелированных, с некоторыми примерами. fXY(x,y)=fX(x)fY(y)
Мени Розенфельд

Ответы:

59

Нет. Контрпример:

Пусть равномерно распределено на , .[ - 1 , 1 ] Y = X 2X[1,1]Y=X2

Тогда а также ( - нечетная функция), поэтому некоррелированы.E [ X Y ] = E [ X 3 ] = 0 X 3 X , YE[X]=0E[XY]=E[X3]=0X3X,Y

НоE[X2Y]=E[X4]=E[X22]>E[X2]2=E[X2]E[Y]

Последнее неравенство следует из неравенства Дженсена. Это также следует из того факта, что поскольку не является константой.XE[X22]E[X2]2=Var(X)>0X


Проблема с вашими рассуждениями в том, что может зависеть от y и наоборот, поэтому ваше предпоследнее равенство неверно.fXy

Якуб Барчук
источник
8
Нет необходимости усложнять ситуацию с неравенством Дженсена; представляет собой неотрицательное случайная величина, а не 0 сор 1, так что E [ X 4 ] > 0 (или вы можете просто сделать 1 - 1 х 4 г х и легко увидеть свои положительные). X40E[X4]>011x4dx
Бэтмен
1
Вы также должны добавить сюжет. Я рассматривал подобный пример (Y = | X | на -1: +1), но представил бы это визуально.
Anony-Mousse
2
@ Бэтмен Я действительно не понимаю, как это даст вам что-нибудь, потому что нам интересно, если E[X22]E[X2]2>0
Якуб Бартчук
1
@ Anony-Mousse Нет необходимости ограничивать Y. Y = | X | соответствует требованию
Лорен Печтел
ЛоренПехтель для визуализации. Потому что ИМХО лучше понять, почему это может произойти, а не только то, что математический результат такой, как хотелось бы.
Anony-Mousse
20

Даже если , не только возможно, что X 2 и Y коррелированы, но они могут даже быть идеально коррелированными, с Corr ( X 2 , Y ) = 1 :Corr(X,Y)=0X2YCorr(X2,Y)=1

> x <- c(-1,0,1); y <- c(1,0,1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 1

Или :Corr(X2,Y)=1

> x <- c(-1,0,1); y <- c(-1,0,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] -1

Если вы не можете прочитать R-код , первый пример эквивалентен рассмотрению двух случайных величин и Y с совместным распределением, так что ( X , Y ) с равной вероятностью будет ( - 1 , 1 ) , ( 0 , 0 ) или ( 1 , 1 ) . В совершенно отрицательно коррелированном примере ( X , Y ) с равной вероятностью будет ( - 1 , - 1).XY(X,Y)(1,1)(0,0)(1,1)(X,Y) , ( 0 , 0 ) или ( 1 , - 1 ) .(1,1)(0,0)(1,1)

Тем не менее, мы также можем построить и Y так , чтобы Corr ( X 2 , Y ) = 0 , поэтому возможны все крайности:XYCorr(X2,Y)=0

> x <- c(-1,-1,0,1,1); y <- c(1,-1,0,1,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 0
тарпон
источник
9

E[h(X,Y)]

E[h(X,Y)]=h(x,y)fX(x)fY(y)dxdy
E[h(X,Y)]=h(x,y)fXY(x,y)dxdy.
fXY(x,y)=fX(x)fY(y)XYXYf(X)g(Y)
Лука Чити
источник