Оценка количества шаров путем последовательного выбора шара и его маркировки

Допустим, у меня в сумке N шаров. На моем первом розыгрыше я отмечаю мяч и помещаю его в сумку. Во время второго розыгрыша, если я беру отмеченный мяч, я возвращаю его в сумку. Однако, если я беру безымянный шарик, я отмечаю его и возвращаю в сумку. Я продолжаю это для любого количества розыгрышей. Каково ожидаемое количество шаров в сумке с учетом количества розыгрышей и отмеченной / немаркированной истории розыгрышей?

Вот идея. Пусть конечное подмножество натуральных чисел , которые будут служить в качестве возможных значений для . Предположим, у нас есть предварительное распределение по . Устранение неслучайный целое положительное число . Пусть будет случайной величиной, обозначающей количество раз, которое мы помечаем шаром в извлекаемом из сумки. Цель состоит в том, чтобы найти . Это будет функцией и предыдущего. N I M k M E ( N | k ) M , $\mathcal{I}$$N$$\mathcal{I}$$M$$k$$M$$E(N|k)$$M,k$

По правилу Байеса мы имеем

$$\begin{align} P(N=j|k) &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{P(k)}\\ &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{\sum_{r \in \mathcal{I}} P(k|N=r)P(N=r)} \end{align}$$

Вычисление является известным расчетом, который является вариантом задачи по сбору купонов. P ( k | N = j ) - это вероятность того, что мы наблюдаем k различных купонов в M розыгрышах, когда всего имеется j купонов. Смотрите здесь для аргумента$P(k|N=j)$$P(k|N=j)$$k$$M$$j$

$$P(k|N=j) = \frac{\binom{j}{k}k!S(M,k)}{j^M}$$

где обозначает число перемешивания второго рода . Затем мы можем рассчитать$S$

$$E(N|k) = \sum_{j \in \mathcal{I}}jP(N=j|k)$$

Ниже приведены некоторые расчеты для различных и . В каждом случае мы используем униформу доM [ k , 10 k $k$$M$$[k,10k]$

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline M & k & E(N)\\\hline 10 & 5 & 7.99 \\ 15 & 5 & 5.60 \\ 15 & 10 & 23.69\\ 30 & 15 & 20.00\\ 30 & 20 & 39.53 \\ \hline \end{array}$$