Дискретная равномерная случайная величина (?), Принимающая все рациональные значения в замкнутом интервале

У меня только что была (интеллектуальная) паническая атака.

• Непрерывная случайная величина, которая следует за униформой на отрезке : удобно знакомая статистическая концепция. $U(a,b)$
• Непрерывный равномерный Р., имеющий поддержку над расширенными реалами (половиной или целым): не собственно Р., а базовая байесовская концепция неправильного априорного, полезного и применимого.
• Дискретная униформа, принимающая конечное число значений: давайте бросим геодезический купол, ничего страшного.

Но как насчет функции, которая имеет в качестве своей области все рациональные числа, включенные в замкнутый интервал с целочисленными границами (начните с если хотите)? И мы хотим использовать его в вероятностной структуре, требующей, чтобы каждое возможное значение имело равную вероятность со всеми остальными?$[0,1]$

Число возможных значений счетно бесконечно (что характеризует множество дискретных распределений), но как выразить вероятность единственного значения, учитывая, что мы хотим, чтобы вероятности были равны?

Можем ли мы сказать-показать-доказать, что такая сущность является (не) случайной величиной?

Если нет, то является ли это еще одним воплощением (возможно, уже известным) «неправильного предшественника»?

Возможно ли, что эта сущность в каком-то четко определенном смысле, хотя и особенном, «эквивалентна» непрерывному равномерному rv? Или я просто совершил смертный грех?

Похоже, тот факт, что домен является закрытым интервалом, не отпускает меня. Связанные вещи обычно управляемы.

Вопросов много, чтобы указывать на внутренний водоворот - я не прошу получать ответы на каждый из них.

В любое время, когда у меня появятся какие-либо идеи, я буду обновлять.

ОБНОВЛЕНИЕ: настоящий вопрос только что получил конструктивистское продолжение здесь.

Эта «случайная величина» похожа на идею наличия плоского априора на всей реальной линии (ваш второй пример).

Чтобы показать, что не может быть случайной величины такой, что P ( X = q ) = c для всех q ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ] и постоянной c , мы используем σ -аддитивное свойство случайных величин: счетное объединение вероятность непересекающихся событий равна (возможно, бесконечной) сумме вероятностей событий. Итак, если c = 0 , вероятность P ( X ∈ Q ∩ [ 0 , 1 $X$$P(X=q)=c$$q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$$c$$\sigma$$c=0$ , так как это сумма счетного числа нулей. Если c > 0 , то P ( X ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ] ) = ∞ . Однако правильная случайная величина, принимающая значения в Q ∩ [ 0 , 1 ], должна быть такой, чтобы P ( X ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ] ) = 1 , поэтому такой случайной величины не существует.$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=0$$c>0$$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=\infty$$\mathbb{Q}\cap[0,1]$$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=1$

Ключевым моментом здесь, как вы, возможно, уже знаете, является то, что если пространство состоит из конечного числа точек, то мы можем использовать и не иметь проблем с суммой, а если в пространстве есть несчетное количество точек, вы можете иметь c = 0 и σ -аддитивность не нарушается при интегрировании по пространству, потому что это утверждение о счетных вещах. Однако вы столкнетесь с проблемами, когда вам нужно равномерное распределение по счетно бесконечному множеству.$c>0$$c=0$$\sigma$

Однако в контексте байесовского априора вы, конечно, можете просто сказать, что для всех q ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ], если вы хотите использовать неподобающий априор.$P(X=q)\propto 1$$q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$

$z\in\mathbb{Q}$$-z\in\mathbb{Q}$


$z +y =y+z$

$\mu$$\mu(z + A) = \mu(A)$$A\subset\mathbb{Q}$$z\in\mathbb{Q}$

$\mu$$\mu(\{z\})=0$$z\in\mathbb{Q}$
$(\mathbb{Q}, \mu)$

$\mu$$\mu$
$\mu$
$\mu$

ОБНОВЛЕНИЕ: Вы немедленно получаете меру на рациональных единичных интервалах, которая является равномерной в этом смысле, рассматривая меру толчка вперед на основе построенных нами рациональных чисел, вдоль карты от рациональных чисел к рациональным интервалам единичных интервалов, которая отображает каждый рациональный в своей дробной части.
Поэтому, ослабив требование конечной аддитивности, вы получите такие меры в обоих упомянутых вами случаях.