Построение дискретного р.в., имеющего в качестве опоры все рациональные числа в

19

Это конструктивистское продолжение этого вопроса .

Если мы не можем иметь дискретную равномерную случайную переменную, имеющую в качестве поддержки все рациональные числа в интервале [0,1] , то следующая лучшая вещь:

Построим случайную величину Q которая имеет эту опору, QQ[0,1] и которая следует некоторому распределению. И мастер во мне требует, чтобы эта случайная переменная была построена из существующих распределений, а не создана путем абстрактного определения того, что мы хотим получить.

Итак, я придумал следующее:

Пусть X - дискретная случайная величина, следующая за геометрическим распределением-вариантом II с параметром 0<p<1 , а именно

X{0,1,2,...},P(X=k)=(1p)kp,FX(X)=1(1p)k+1

Пусть также Y - дискретная случайная величина, следующая за геометрическим распределением-вариантом I с одинаковым параметром p , а именно

Y{1,2,...},P(Y=k)=(1p)k1p,FY(Y)=1(1p)k

X иY независимы. Определите теперь случайную величину

Q=XY

и рассмотрим условное распределение

P(Qq|{ИксY})

Проще говоря, «условный - это отношение X к Y, условное, если X меньше или равно Y ». Поддержка этого условного распределения { 0 , 1 , 1 / 2 , 1 / 3 , . , , , 1 / к , 1 / ( K + 1 ) , . , , , 2 / 3 , 2 / 4QИксYИксY .{0,1,1/2,1/3,,,,,1/К,1/(К+1),,,,,2/3,2/4,,,,}знак равноQ[0,1]

«Вопрос»: Может ли кто-нибудь предоставить соответствующую функцию условной вероятности?

Комментарий спросил "это должно быть закрытой формой"? Поскольку то, что в настоящее время представляет собой замкнутую форму, не так однозначно, позвольте мне выразить это следующим образом: мы ищем функциональную форму, в которую мы можем ввести рациональное число из и получить вероятность (для некоторых заданное значение параметра p, конечно), что приводит к показательному графику pmf. А затем измените p, чтобы увидеть, как меняется график.[0,1]пп

Если это поможет, то мы можем открыть одну или обе границы поддержки, хотя эти варианты лишат нас возможности однозначно отобразить верхние и / или нижние значения pmf . Кроме того, если мы открываем верхнюю границу, то мы должны рассмотреть обусловливающее событие .{Икс<Y}

В качестве альтернативы, я приветствую также другие rv, которые имеют эту поддержку, если они идут вместе со своим pmf .

Я использовал Геометрическое распределение, потому что у него есть два варианта, один из которых не содержит ноль в опоре (чтобы избежать деления на ноль). Очевидно, что можно использовать другие дискретные rv, используя некоторое усечение.

Я наверняка вознагражу за этот вопрос щедростью, но система не сразу разрешает это.

Алекос Пападопулос
источник
1
Вы имеете в виду ? (определять случайную переменную условно для чего-либо не имеет смысла, вы можете только определить ее распределение таким образом)Qзнак равноИксY1{ИксY}
Стефан Лоран
1
Ваш Q счетный: вы знаете, что существует соответствие 1-1 между N = {1, 2, ...} и Q. Если бы вы могли найти такое соответствие, решением было бы выбрать любое распределение по N и использовать его выбрать соответствующий элемент Q.
Адриан
в любом случае вы должны рассчитать для каждой неприводимой дроби p / q, и это Pr ( X = p , X = 2 p , ) × Pr ( Y = q , Y = 2 q , ... ) . Pr(X/Y=p/q)p/qPr(X=p,X=2p,)×Pr(Y=q,Y=2q,)
Стефан Лоран
1
Означает ли требование предоставить pmf, что требуется закрытая форма? Или, например, бесконечной суммы @ StéphaneLaurent достаточно, чтобы выполнить условие?
Юхо Коккала
1
Пусть и Y RV в вашем посте. P r [ Q = q ] = P r [ Y = f - 1 ( q ) ]f:NQ[0,1]Pr[Q=q]=Pr[Y=f1(q)]
Адриан

Ответы:

19

Рассмотрим дискретное распределение с носителем на множестве { ( p , q )F с вероятностными массами{(p,q)|qp1}N2

F(p,q)=321+p+q.

Это легко суммировать (все вовлеченные ряды являются геометрическими), чтобы продемонстрировать, что это действительно распределение (полная вероятность равна единице).

Для любого ненулевого рационального числа пусть a / b = x будет его представлением в нижних терминах: то есть b > 0 и gcd ( a , b ) = 1 .xa/b=xb>0gcd(a,b)=1

индуцирует дискретное распределение G на [ 0 , 1 ] Q по правиламFG[0,1]Q

G(x)=G(ab)=n=1F(an,bn)=321+a+b2.

). Каждое рациональное число в ( 0 , 1 ] имеет ненулевую вероятность (если вы должны включить 0 в число значений с положительной вероятностью, просто уберите часть вероятности из другого числа - например, 1 - и присвойте ему значение 0 ).G(0)=0(0,1]010

Чтобы понять эту конструкцию, посмотрите на это изображение :F

[Фигура F]

получаются суммированием площадей всех окружностей, лежащих на каждой линии. Например, G ( 1 ) получается путем суммирования площадей всех (красных) кругов вдоль главной диагонали наклона 1 , определяемых как F ( 1 , 1 ) + FF дает вероятностные массы во всех точках с положительными интегральными координатами. Значения F представлены цветными областями круглых символов. Линии имеют наклоны p / q для всех возможных комбинаций координат p и q, появляющихся на графике. Они окрашены так же, как круглые символы: согласно их наклонам. Таким образом, наклон (который явно находится в диапазоне от 0 через 1 ) и цвет соответствует аргументу из G , а значения Gp,qFp/qpq01GGG(1)1 = 3 / 8 + 3 / 32 + 3 / 128 + = 1 /F(1,1)+F(2,2)+F(3,3)+ .3/8+3/32+3/128+=1/2

фигура

На этом рисунке показано приближение к достигается за счет ограничения д 100 : это участки его значения в 3044 рациональных чисел в диапазоне от 1 / 100 через 1 . Наибольшие массы вероятности 1GQ10030441/1001.12,314,110,362,362,142,...

Вот полный CDF (с точностью до разрешения изображения). Шесть чисел, перечисленных выше, дают размеры видимых переходов, но каждая часть CDF состоит из переходов без исключения:G

фигура 2

Whuber
источник
1
Благодарность! Я нахожусь в процессе понимания строительства. Всего два вопроса: а) F - двумерный, но в выражении, связывающем его с он представляется как одномерный. Я что-то пропустил? и б) Поскольку G является одномерным, я думаю, что все точки на впечатляюще выглядящем первом графике представляют разные значения на горизонтальной оси (хотя, конечно, это невозможно точно представить в таком масштабе), я прав? GG
Алекос Пападопулос
Я только что завершил рисунок, который мог бы ответить на ваш комментарий, Алекос, и добавил его к ответу. Обратите внимание, что я мог бы начать с любого дискретного распределения F и построить таким же образом; это конкретное распределение было выбрано для упрощения расчетов. G
whuber
Становится все лучше и лучше. Что касается моего первого вопроса в предыдущем комментарии, должен ли он быть вместоF(аF(ab,n)? Т.е. чтоp=a/bиq=n? F(abn)p=a/bq=n
Алекос Пападопулос
Это лучший ответ, чем мой! Я заметил две маленькие вещи: я думаю, что ваши F (p, q) суммы в 4, как написано. Также в приведенном ниже уравнении «F индуцирует дискретное распределение G» вы должны иметь F (na, nb) нет?
Адриан
@Adrian, Alecos Спасибо за ловлю этих опечаток: должен быть1 а обозначение F, очевидно, неверно. Я исправлю их прямо сейчас. 1F
uber
8

Я соберу свои комментарии вместе и опубликую их как ответ только для ясности. Я ожидаю, что вы не будете очень довольны, так как все, что я делаю, сводит вашу проблему к другой проблеме.

Моя запись:

представляет собой RV, носитель является Q[ 0 , 1 ]QQ[0,1] - мой является не такой же , как Q в OP конструкции из его XQQXY . Мы определим это используя Y и f , которые я представлю ниже.QYf

- любой RV, чья поддержка NY - Y, например, заданный OP, будет работать.N{1,2,}Y

любое взаимно однозначное соответствие f : NQf а f - 1 - его обратное. Мы знаем, что они существуют.f:NQ[0,1]f1

Теперь я утверждаю, что могу свести вашу проблему к простому нахождению и его f - 1 :ff1

Просто позвольте и все готово. PMF для Q является Pr [ Q = q ] = PrQ=f(Y)QPr[Q=q]=Pr[Y=f1(q)]

Редактировать:

f

g <- function(y) {
    y <- as.integer(y)
    stopifnot(y >= 1)
    b <- 0
    a <- 0
    for (unused_index in seq(1, y)) {
        if (a >= b) {
            b <- b+1
            a <- 0
        } else {
            a <- a+1
        }
    }
    return(sprintf("q = %s / %s", a, b))
    ## return(a / b)
}
Адриан
источник
N{1,2,...}ее-1
Алекос Пападопулос
f1
В предоставленной вами ссылке в какой-то момент сказано: «Обратите внимание, что нет необходимости находить формулу для соответствия; все, что необходимо, - это уверенность в том, что такое соответствие существует. В математике есть много других примеров, подобных этому. - где дело в том, чтобы показать, что что-то должно произойти или что-то существует, а не показать формулу ». Хорошо, смысл моего вопроса в том, чтобы на самом деле показать формулу : я назвал этот вопрос «конструктивистским» по причине.
Алекос Пападопулос
1
Я думаю, что могу предоставить алгоритм, который будет работать - я подумаю об этом немного больше.
Адриан
Я что-то опубликовал - позволяет имитировать Q, но не решает проблему PMF.
Адриан