Это конструктивистское продолжение этого вопроса .
Если мы не можем иметь дискретную равномерную случайную переменную, имеющую в качестве поддержки все рациональные числа в интервале , то следующая лучшая вещь:
Построим случайную величину которая имеет эту опору, и которая следует некоторому распределению. И мастер во мне требует, чтобы эта случайная переменная была построена из существующих распределений, а не создана путем абстрактного определения того, что мы хотим получить.
Итак, я придумал следующее:
Пусть - дискретная случайная величина, следующая за геометрическим распределением-вариантом II с параметром , а именно
Пусть также - дискретная случайная величина, следующая за геометрическим распределением-вариантом I с одинаковым параметром , а именно
и независимы. Определите теперь случайную величину
и рассмотрим условное распределение
Проще говоря, «условный - это отношение X к Y, условное, если X меньше или равно Y ». Поддержка этого условного распределения { 0 , 1 , 1 / 2 , 1 / 3 , . , , , 1 / к , 1 / ( K + 1 ) , . , , , 2 / 3 , 2 / 4 .
«Вопрос»: Может ли кто-нибудь предоставить соответствующую функцию условной вероятности?
Комментарий спросил "это должно быть закрытой формой"? Поскольку то, что в настоящее время представляет собой замкнутую форму, не так однозначно, позвольте мне выразить это следующим образом: мы ищем функциональную форму, в которую мы можем ввести рациональное число из и получить вероятность (для некоторых заданное значение параметра p, конечно), что приводит к показательному графику pmf. А затем измените p, чтобы увидеть, как меняется график.
Если это поможет, то мы можем открыть одну или обе границы поддержки, хотя эти варианты лишат нас возможности однозначно отобразить верхние и / или нижние значения pmf . Кроме того, если мы открываем верхнюю границу, то мы должны рассмотреть обусловливающее событие .
В качестве альтернативы, я приветствую также другие rv, которые имеют эту поддержку, если они идут вместе со своим pmf .
Я использовал Геометрическое распределение, потому что у него есть два варианта, один из которых не содержит ноль в опоре (чтобы избежать деления на ноль). Очевидно, что можно использовать другие дискретные rv, используя некоторое усечение.
Я наверняка вознагражу за этот вопрос щедростью, но система не сразу разрешает это.
источник
Ответы:
Рассмотрим дискретное распределение с носителем на множестве { ( p , q )F с вероятностными массами{(p,q)|q≥p≥1}⊂N2
Это легко суммировать (все вовлеченные ряды являются геометрическими), чтобы продемонстрировать, что это действительно распределение (полная вероятность равна единице).
Для любого ненулевого рационального числа пусть a / b = x будет его представлением в нижних терминах: то есть b > 0 и gcd ( a , b ) = 1 .x a/b=x b>0 gcd(a,b)=1
индуцирует дискретное распределение G на [ 0 , 1 ] ∩ Q по правиламF G [0,1]∩Q
(и ). Каждое рациональное число в ( 0 , 1 ] имеет ненулевую вероятность (если вы должны включить 0 в число значений с положительной вероятностью, просто уберите часть вероятности из другого числа - например, 1 - и присвойте ему значение 0 ).G(0)=0 (0,1] 0 1 0
Чтобы понять эту конструкцию, посмотрите на это изображение :F
получаются суммированием площадей всех окружностей, лежащих на каждой линии. Например, G ( 1 ) получается путем суммирования площадей всех (красных) кругов вдоль главной диагонали наклона 1 , определяемых как F ( 1 , 1 ) + FF дает вероятностные массы во всех точках с положительными интегральными координатами. Значения F представлены цветными областями круглых символов. Линии имеют наклоны p / q для всех возможных комбинаций координат p и q, появляющихся на графике. Они окрашены так же, как круглые символы: согласно их наклонам. Таким образом, наклон (который явно находится в диапазоне от 0 через 1 ) и цвет соответствует аргументу из G , а значения Gp,q F p/q p q 0 1 G G G(1) 1 = 3 / 8 + 3 / 32 + 3 / 128 + ⋯ = 1 /F(1,1)+F( 2 , 2 ) + F( 3 , 3 ) + ⋯ .3 / 8 + 3 / 32 + 3 / 128 + ⋯ = 1 / 2
На этом рисунке показано приближение к достигается за счет ограничения д ≤ 100 : это участки его значения в 3044 рациональных чисел в диапазоне от 1 / 100 через 1 . Наибольшие массы вероятности 1грамм Q≤ 100 3044 1 / 100 1 .12, 314, 110, 362, 362, 142, ...
Вот полный CDF (с точностью до разрешения изображения). Шесть чисел, перечисленных выше, дают размеры видимых переходов, но каждая часть CDF состоит из переходов без исключения:G
источник
Я соберу свои комментарии вместе и опубликую их как ответ только для ясности. Я ожидаю, что вы не будете очень довольны, так как все, что я делаю, сводит вашу проблему к другой проблеме.
Моя запись:
представляет собой RV, носитель является Q ∩ [ 0 , 1 ]Q Q∩[0,1] - мой является не такой же , как Q в OP конструкции из его XQ Q XY . Мы определим это используя Y и f , которые я представлю ниже.Q Y f
- любой RV, чья поддержка N ≡Y - Y, например, заданный OP, будет работать.N≡{1,2,…} Y
любое взаимно однозначное соответствие f : N → Q ∩f а f - 1 - его обратное. Мы знаем, что они существуют.f:N→Q∩[0,1] f−1
Теперь я утверждаю, что могу свести вашу проблему к простому нахождению и его f - 1 :f f−1
Просто позвольте и все готово. PMF для Q является Pr [ Q = q ] = PrQ=f(Y) Q Pr[Q=q]=Pr[Y=f−1(q)]
Редактировать:
источник