Покажите, что - броуновская прямая мера

Определения и прочее:

Рассмотрим отфильтрованное вероятностное пространство где$(\Omega, \mathscr F, \{\mathscr F_t\}_{t \in [0,T]}, \mathbb P)$

1. $$T > 0$$

2. $$\mathbb P = \tilde{\mathbb P}$$

Это нейтральная к риску мера .

3. $$\mathscr F_t = \mathscr F_t^{{W}} = \mathscr F_t^{\tilde{W}}$$

где является стандартным -браунское движение.$W = \tilde{W} = \{\tilde{W_t}\}_{t \in [0,T]} = \{{W_t}\}_{t \in [0,T]}$$\mathbb P=\tilde{\mathbb P}$

Рассмотрим где$M = \{M_t\}_{t \in [0,T]}$

$$M_t := \frac{\exp(-\int_0^t r_s ds)}{P(0,t)}$$

Определите прямую меру :$\mathbb Q$

$$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} := M_T = \frac{\exp(-\int_0^T r_s ds)}{P(0,T)}$$

где - процесс короткой ставки, а - цена облигации в момент времени t.$\{r_t\}_{t \in [0,T]}$$\{P(t,T)\}_{t \in [0,T]}$

Можно показать, что является мартингалом где динамика цен облигаций определяется как:$\{\exp(-\int_0^t r_s ds)P(t,T)\}_{t \in [0,T]}$$(\mathscr F_t, \mathbb P)-$

$$\frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \xi_t dW_t$$

где

1. $r_t$ и $\xi_t$ являются $\mathscr F_t$ -адаптированными

2. ξ $\xi_t$ удовлетворяет условию Новикова (я не думаю, что должен представлять что-то конкретное)$\xi_t$

---

Проблема:

Определите случайный процесс st$W^{\mathbb Q} = (W_t^{\mathbb Q})_{t\in[0,T]}$

$$W_t^{\mathbb Q} := W_t - \int_0^t \xi_s ds$$

Используйте теорему Гирсанова для доказательства:

$$W_t^{\mathbb Q} \ \text{is standard} \ \mathbb Q \ \text{-Brownian motion.}$$

---

Что я пробовал:

Поскольку удовлетворяет условию Новикова,$\xi_t$

$$\int_0^T \xi_t dt < \infty \ \text{a.s.} \ \to \ \int_0^T -\xi_t dt < \infty \ \text{a.s.}$$

$$\to L_t := \exp(-\int_0^t (-\xi_s dW_s) - \frac{1}{2} \int_0^t \xi_s^2 ds)$$

является мартингал.$(\mathscr F_t, \mathbb P)-$

По теореме Гирсанова,

$$W_t^{\mathbb Q} \ \text{is standard} \ \mathbb P^{*} \ \text{-Brownian motion, where}$$

$$\frac{d \mathbb P^{*}}{d \mathbb P} := L_T$$

Я предполагаю, что у нас есть - стандартное -Brownian Motion, если мы можем показать, что$W_t^{\mathbb Q}$$\mathbb Q$

$$L_T = \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$$

Я потерял свои заметки, но я думаю, что смог показать, используя лемму Ито, что

1. $$dL_t = L_t \xi_t dW_t$$

2. $$dM_t = M_t \xi_t dW_t$$

Из тех, что я делаю вывод, что

$$d(\ln L_t) = d(\ln M_t)$$

$$\to L_t = M_t$$

$$\to L_T = M_T$$

QED

Это правильно?

(Глядя на вопрос и обозначения, используемые более внимательно, формулировка кажется проблемной в нескольких местах.)

Общий факт

Пусть - стандартное броуновское движение относительно фильтрации . Рассмотрим определенный как В общем случае является супер-мартингалом. При некоторых условиях (например, условие Новикова) является мартингалом, и можно определить меру вероятности помощью В процесс является стандартным броуновским движением относительно фильтрации$W$$( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$$(L_t)_{t \in [0,T]}$

$$\frac{dL_t}{L_t} = \psi_t dL_t, \; L_0 = 1.$$ $L_t = e^{\int_0^t \psi_s dW_s - \frac12 \int_0^t \psi^2_s ds }$$L_t$$\mathbb{Q}$ $$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = L_T.$$ $\mathbb{Q}$ $$W^{\mathbb{Q}}_t = W_t - \int_0^t \psi_s ds$$ $( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$ .

Неофициальное указание, почему это так, заключается в следующем. Рассмотрим . По теореме Байеса является -мартингалом тогда и только тогда, когда является -мартингалом. поскольку$W^{\lambda}_t = W_t + \int_0^t \lambda_s ds$$W^{\lambda}$$\mathbb{Q}$$L W^{\lambda}$$\mathbb{P}$

$$\begin{align*} d L W^{\lambda} &= L d W^{\lambda} + W^{\lambda} dL + dL dW^{\lambda}\\ &= L (\psi + \lambda) dt + (\cdots) dW, \end{align*}$$ λ=-ψWλQ мы должны иметь , чтобы был -браунским движением.$\lambda = - \psi$$W^{\lambda}$$\mathbb{Q}$

Цена со скидкой как плотность вероятности

Неявные предположения состоят в том, что существует базовый актив, цена которого следует за по нейтральной для риска мере . короткой скорости и волатильности адаптированы с достаточной регулярностью, так что интегралы существуют. (Чтобы это было правдой, броуновская фильтрация, генерируемая при нейтральной мере риска, должна быть такой же, как и при броуновском физическом движении под физической мерой, поэтому применима теорема о представлении Мартингейла.)$S_t$

$$\frac{dS_t}{S_t} = r_t dt + \sigma_t dW_t$$ $\mathbb{P}$$(r_t)$$\sigma_t$$(W_t)$

В этом броуновской настройке фильтрации, для любого времени претензии , риск-нейтральной динамика его цены принимает вид Процесс - это волатильность доходности как по физической, так и по нейтральной оценке риска.$T$$X_T$$X_t$

$$\frac{d X_t}{X_t} = r_t dt + \psi_t dW_t.$$ $(\psi_t)$$X_t$

Другими словами, нейтральная к риску динамика дисконтированной цены задается как (Цена со скидкой любого требования должна следовать мартингейлу при нейтральной оценке риска, без арбитража.)$M_t = e^{- \int_0^t r_s ds} X_t$

$$\frac{d M_t}{M_t} = \psi_t dW_t, \, M_0 = X_0.$$ $T$

Если условие Новикова выполнено, то определяет плотность Радона-Никодима В процесс является стандартным броуновским движением относительно фильтрации .$L_T = \frac{M_T}{M_0}$

$$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = L_T.$$ $\mathbb{Q}$ $$W_t - \int_0^t \psi_s ds$$ $( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$

Другими словами, дисконтированный выигрыш из любого -claim , нормируется ее время цена , можно рассматривать как плотность Радона-Никодима меры , В нейтральное к риску броуновское движение теперь имеет дрейф, определяемый волатильностью возврата .$e^{- \int_0^T r_s ds} X_T$$T$$X_T$$0$$X_0$$\mathbb Q$$\mathbb Q$$\frac{d X_t}{X_t}$

Если является ценой торгуемого актива, то является мартингалом . Это означает, что является мартингалом из .$(Y_t)$$e^{- \int_0^t r_s ds} Y_t$$\mathbb P$$(\frac{Y_t}{X_t})$$\mathbb Q$

Прямая мера

Вперед мера является частным случаем выше , где является по времени цена нулевой купонной облигации с погашением в . В частности, . В выражении - волатильность доходности по облигации с нулевым купоном.$X_t = P(t,T)$$t$$T$$X_T = P(T,T) = 1$

$$\frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \xi_t dW_t,$$ $\xi_t$

(Если является детерминистическим, то , а мера форвардная аналогична меру нейтральной к риску. Облигация с нулевым купоном является рискованным активом, только когда короткая ставка является стохастической.)$(r_t)$$\xi = 0$

Соответствующая мера определяется как Поскольку из общего обсуждения выше следует, что в процесс является стандартным броуновским движением относительно фильтрации .$\mathbb Q$

$$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = \frac{e^{- \int_0^T r_s ds} P(T,T)}{P(0,T)} = L_T.$$ $$\frac{d L_t}{L_t} = \xi_t dW_t,$$ $\mathbb{Q}$ $$W_t - \int_0^t \xi_s ds$$ $( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$

(В опубликованном вопросе мартингейл должен быть . в дисконтированных ценах нейтральная к риску мера.)$M_t$$\frac{e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T)}{P(0,T)}$

Эмпирические комментарии

Форвардная мера обладает тем свойством, что форвардные цены образуют -мартингал.$\mathbb Q$$\mathbb Q$

Пусть является форвардная цена форвардного контракта , заключенного в со сроком погашения . При отсутствии арбитража (точечная прямая четность, в данном случае) который после дисконтирования является мартингалом . Таким образом, является мартингалом .$F(t,T)$$t$$T$

$$F(t,T) P(t,T) = S_t$$ $\mathbb P$$F(t,T)$$\mathbb Q$

Поскольку форвардная цена движется обратно пропорционально . Прямая мера смещает массу вероятности в состояния, в которых дисконтированный доход по облигации с нулевым купоном высокий, таким образом, что противодействует движению в и поддерживает (условное) ожидание постоянным.

$$F(t,T) = \frac{S_t}{P(t,T)}$$ $P(t,T)$ $$\frac{d \left( e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T) \right)}{ e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T)} = \xi_t dW_t,$$ $P(t,T)$