Как я могу получить производственную функцию Леонтьева и Кобба-Дугласа из функции CES?

21

В большинстве учебников по микроэкономике упоминается, что производственная функция постоянной эластичности замещения (CES),

Q=γ[aKρ+(1a)Lρ]1ρ

(где эластичность замещения равна ), имеет свои пределы как производственную функцию Леонтьева, так и функцию Кобба-Дугласа. В частности,σ=11+ρ,ρ>1

limρQ=γmin{K,L}

а также

limρ0Q=γKaL1a

Но они никогда не дают математического доказательства этих результатов.

Может ли кто-нибудь предоставить эти доказательства?

Кроме того, вышеупомянутая функция CES включает в себя постоянные возвраты в масштабе (однородность степени один), поскольку внешний показатель равен 1/ρ . Если бы это было, скажем, k/ρ , то степень однородности была бы k .

Как влияют на предельные результаты, если k1 ?

Гусейн
источник
3
Похоже, что это домашнее задание без каких-либо предварительных усилий по его решению, см .: meta.economics.stackexchange.com/questions/24/…
FooBar
1
Это, конечно, тема по теме, но некачественный вопрос . Даже если это не домашняя работа, Гусейн, мы ожидаем от вас: а) быть осторожным с примечаниями (вы использовали и ) и б) поделиться некоторыми мыслями и способами, которые вы пытались решить для этой проблемы. Мы здесь, чтобы помогать людям, которые помогают себе , а не предлагать профессиональные услуги бесплатно. ρp
Алекос Пападопулос
2
Математика делает вещи по-разному почти во всей остальной сети стека обмена. Только на math.se вы можете отправлять задачи другим людям для решения без усилий. Пожалуйста, сохраните такой вопрос для math.se, а не здесь.
EnergyNumbers
2
Когда вы говорите «мне нужно доказать» без указания того, зачем вам нужно это доказывать, люди будут предполагать, что это домашнее задание.
Стивен Ландсбург,
1
@Huseyin Теперь, когда вопрос был вновь открыт и был дан ответ, вы не отправите свой ответ на лимит Кобба-Дугласа?
Алекос Пападопулос

Ответы:

21

Доказательства, которые я приведу, основаны на методах, имеющих отношение к тому факту, что производственная функция CES имеет форму обобщенного взвешенного среднего .
Это использовалось в оригинальной статье, где была введена функция CES, Arrow, KJ, Chenery, HB, Minhas, BS, & Solow, RM (1961). Капитал-трудовое замещение и экономическая эффективность. Обзор экономики и статистики, 225-250.
Там авторы направили своих читателей к книге Харди Г.Х., Литтлвуд Дж. Э. и Поля Г. (1952). Неравенства , глава .2

Рассмотрим общий случай

Qk=γ[aKρ+(1a)Lρ]kρ,k>0

γ1Qk=1[a(1/Kρ)+(1a)(1/Lρ)]kρ

1) Предел приρ
Поскольку нас интересует предел при мы можем игнорировать интервал, для которого , и рассматривать как строго положительный.ρρ0ρ

Без ограничения общности предположим, что . У нас также есть . Затем мы проверяем, что имеет место следующее неравенство:KL(1/Kρ)(1/Lρ)K,L>0

(1a)k/ρ(1/Lk)γQk1(1/Lk)

(1)(1a)k/ρ(1/Lk)[a(1/Kρ)+(1a)(1/Lρ)]kρ(1/Lk)

подняв повсюду к власти чтобы получитьρ/k

(2)(1a)(1/Lρ)a(1/Kρ)+(1a)(1/Lρ)(1/Lρ)
что действительно верно, учитывая предположения. Затем вернитесь к первому элементу и(1)

limρ(1a)k/ρ(1/Lk)=(1/Lk)

который помещает средний член в в , так(1)(1/Lk)

(3)limρQk=γ1/Lk=γLk=γ[min{K,L}]k

Таким образом, для мы получаем основную производственную функцию Леонтьева.k=1

2) Предел, когдаρ0
Напишите функцию, используя экспоненту как

(4)γ1Qk=exp{kρln[a(Kρ)1+(1a)(Lρ)1]}

Рассмотрим разложение Маклаурина первого порядка (разложение Тейлора с центром в нуле) слагаемого внутри логарифма относительно :ρ

a(Kρ)1+(1a)(Lρ)1=a(K0)1+(1a)(L0)1a(K0)2K0ρlnK(1a)(L0)2L0ρlnL+O(ρ2)

=1ρalnKρ(1a)lnL+O(ρ2)=1+ρ[lnKaL(1a)]+O(ρ2)

Вставьте это обратно в и избавьтесь от внешней экспоненты,(4)

γ1Qk=(1+ρ[lnKaL(1a)]+O(ρ2))k/ρ

В случае, если это непрозрачно, определите и переписатьr1/ρ

γ1Qk=(1+[lnKaL(1a)]r+O(r2))kr

Теперь это выглядит как выражение, предел которого в бесконечности даст нам нечто экспоненциальное:

limρ0γ1Qk=limrγ1Qk=(exp{lnKaL(1a)})k

limρ0Qk=γ(KaL1a)k

Степень однородности функции сохраняется, и если мы получаем функцию Кобба-Дугласа.kk=1

Именно этот последний результат , который сделал Стрелок и Ко назвать параметр «распределения» функций CES.a

Алекос Пападопулос
источник
11

Обычный метод получения Кобба-Дугласа и Леотифа - это правило Л'Опитала .

Также следует использовать другие методы. Установка будет возвращать и По полной производной по дифференциалам мы будем иметь При некоторых манипуляциях будет получено наше основное уравнение.γ=1Q=[aKρ+(1a)Lρ]1ρ

Qρ=[aKρ+(1a)Lρ]
ρQρ1dQ=aρKρ1dK(1a)ρLρ1dL

dQ=a(QK)1+ρdK+(1a)(QL)1+ρdL

Линейная функция :limρ1dQQ=aK+(1a)L

Функция Кобба-Дугласа : Взятие интеграла с обеих сторон приведет к

limρ0dQ1QdQ=a(1K)dK+(1a)(1L)dL

1QdQ=a(1K)dK+(1a)(1L)dL

Q=KaL(1a)eC=AKaL(1a)

Леонтьевская функция :limρdQmin(aK,(1a)L)

Гусейн
источник
1
(+1) Мне особенно нравится, как получается функция Кобба-Дугласа.
Алекос Пападопулос
Спасибо @AlecosPapadopoulos. но я не знаю, почему кому-то еще не нравится этот пост? Я думаю, что этот тип вопросов может вызвать мозговой штурм по крайней мере для меня.
Гусейн
1
Строго говоря, Гусейн, они правы: вы должны были включить хотя бы часть своего ответа в свой вопрос : «Вот мой способ действий, есть ли другой способ?»
Алекос Пападопулос
Является ли взятие дифференциала и интегрирование «эквивалентным» взятию предела? В общем, можем ли мы взять дифференциал и интегрировать, чтобы найти предел? Или это специальное приложение?
PGupta