Основные уравнения в экономике

Для других наук легко указать на самые важные уравнения, которые основывают дисциплину. Если я хочу объяснить экономику физику, скажем, что считается наиболее важными уравнениями, лежащими в основе предмета, который я должен ввести и попытаться объяснить?

Вместо того, чтобы предлагать конкретные уравнения, я укажу на две концепции, которые приводят к конкретным уравнениям для конкретных теоретических установок:

А) Равновесие
. Самая фундаментальная и самая неправильно понятая концепция в экономике. Люди оглядываются и видят постоянное движение - чем может быть более неуместна концепция, чем «равновесие»? Таким образом, работа здесь заключается в том, чтобы передать, что экономика моделирует наблюдение, что вещи в большинстве случаев имеют тенденцию «успокаиваться» - поэтому, характеризуя эту «фиксированную точку», она дает нам опору для понимания движений вне и вокруг этого равновесия (которое может меняться конечно).

Это не тот случай, когда « поставляемое количество равно требуемому количеству » (здесь есть фундаментальное уравнение)

но это тот случай, когда подача стремится к равным спросом (из ничего ) по причинам , что экономист должен уметь убедительно присутствовать кто заинтересован в прослушивании (и в глубине души все они должны делать с ограниченными ресурсами).

Также, определяя условия для равновесия, мы можем понять, когда мы наблюдаем расхождение, какие условия были нарушены.

Б) Предельная оптимизация при ограничениях.
В статической среде она приводит к уравнению предельных величин / первых производных функций.
Товарный рынок: предельный доход равен предельным издержкам .
Рынок ресурсов: предельный доход продукта равен предельному вознаграждению (рента, заработная плата).
И т. Д. (Я специально исключил «максимизацию полезности» из этой картины, потому что здесь сначала нужно представить, что же такое «индекс полезности», и насколько мы сумасшедшие ( не ), пытаясь смоделировать человека » наслаждение »через понятие полезности).

Возможно, вы могли бы охватить все это под общим названием «предельная выгода, равная предельным издержкам», как предлагали другие вопросы:

Экономисты живут в условиях предельной оптимизации, и большинство считает ее очевидной. Но если вы попытаетесь объяснить это постороннему, есть респектабельная вероятность, что он будет возражать или оставаться убежденным, вместо этого обычно предлагая «среднюю оптимизацию» как «более реалистичную», поскольку «люди не вычисляют производные» (мы не утверждают, что они делают, только что их мыслительные процессы могут быть смоделированы, как если бы они были). Таким образом, нужно изложить свою историю о предельной оптимизации с убедительными примерами и дискуссией на тему «почему не средняя оптимизация».

В межвременном контексте это приводит к дисконтированному компромиссу между «настоящим и будущим», опять же «на полях» - начиная с «уравнения Эйлера в потреблении» , который в своей дискретной детерминированной версии гласит:

... а тему полезности нельзя избежать, в конце концов: - предельная полезность от потребления, - ставка дисконтирования, а - процентная ставка.0 < β < 1 r t + $u'()$$0<\beta<1$$r_{t+1}$

( не обращайтесь к статье в википедии об уравнении Эйлера в потреблении, концепция, лежащая в его основе, гораздо более широко применима и фундаментальна, чем конкретное приложение, которое обсуждается в статье в википедии).

Интересно, что хотя динамическая экономика более технически сложна, я нахожу это более интуитивно привлекательным, поскольку люди, кажется, понимают лучше: «то, что вы сэкономите сегодня, определит, что вы будете потреблять завтра», чем «ваша ставка заработной платы будет продуктом предельного дохода для всех». трудовой труд ".

Как уже было сказано, фундаментальное уравнение MOST, безусловно, таково:

РЕДАКТИРОВАТЬ: Это уравнение является фундаментальным с точки зрения мышления экономистов. Как указано в комментариях ниже, в терминах фундаментальных уравнений экономических моделей наиболее фундаментальные уравнения описывают эквивалентности между использованием и поставками предметов (денег, товаров и т. Д.). Они обеспечивают напряжение предельной стоимости этого уравнения.

Я бы добавил уравнения, относящиеся к сравнительной статике:

• $$V^\prime(y)=f_y(x,y)$$
• $$\Delta p\Delta y-\Delta w\Delta x\geq0$$ $y$$x$$p$$w$
• Выявленные предпочтения

Если мы можем претендовать на теоретиков игр или математиков, чьи уравнения мы используем постоянно:

• $$\nabla f(x^*) = \sum_{i=1}^m \mu_i \nabla g_i(x^*) + \sum_{j=1}^l \lambda_j \nabla h_j(x^*)$$ $$g_i(x^*) \le 0, \mbox{ for all } i = 1, \ldots, m$$ $$h_j(x^*) = 0, \mbox{ for all } j = 1, \ldots, l \,\!$$ $$\mu_i \ge 0, \mbox{ for all } i = 1, \ldots, m$$ $$\mu_i g_i (x^*) = 0, \mbox{for all}\; i = 1,\ldots,m.$$
• $$\theta_{i}^\star = \arg \max_{\theta_i} u_i(\theta_i ,\theta_{-i}^\star)$$
• Принцип откровения : что справедливо, не столько уравнение, сколько теорема ...
• Уравнение Беллмана $$V(x)=\max_{c\in\Omega(x)} U(x,z)+\beta\left[V(x^\prime)\right]$$

Большая часть введения - это пересекающиеся линии. В частности,

Экономика о логике человеческого поведения, о том, как мы принимаем решения в мире дефицита. Эти уравнения описывают ограниченную оптимизацию при некоторых обычных предположениях, таких как непрерывность, выпуклые предпочтения и отсутствие угловых решений. Я бы также сделал ставку на потребительскую теорию, а не на производителя. Большую часть теории производителей можно понять с помощью тех же инструментов, что и в теории потребителей.

Я думаю, что одно из наиболее важных уравнений (по крайней мере, в макроэкономике):

Это уравнение было использовано для получения многих основополагающих результатов. Это уравнение мотивировало границу Хансена – Джаганнатана . Это также важно для оценки активов.

Кроме того, кое-что интересное я видел однажды от Тома Сарджента. Если вы используете стохастический коэффициент дисконтирования для стандартной модели то в зависимости от того, какая часть Уравнение, которое вы позволяете быть экзогенным, вы можете получить некоторые фундаментальные результаты макроса:$m = \beta E_t \left[ \frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)} \right]$

• Гипотеза о постоянном доходе: Пусть тогда мы получим$\beta R = 1$$c_t = E [c_{t+1}]$
• Модель ценообразования Lucas Asset: пусть процесс потребления будет задан. Тогда цена актива может быть описана как$R_t^{-1} = p_t = E \left[ \frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)} \right]$

Однажды я слышал, как Роджер Майерсон говорил о том, почему он считал, что экономика, как обществоведение, так успешно применила (или так легко внедрила) математику. Он предположил, что, возможно, это было связано с некоторыми фундаментальными линейными связями в мире. Двумя примерами могут служить ограничения баланса дефицитных товаров (товарные ограничения) и условия отсутствия арбитража. Это принципиально линейные ограничения.

• Важно подчеркнуть важность этого, потому что мы можем получить удивительное количество из двух. Например, многие люди думают, что закон спроса является следствием принятия рациональности (в частности, предпочтения, которые показывают снижение предельной нормы замещения). Результат из-за Гэри Беккера показывает, что закон спроса (хотя и немного более слабая версия) может быть получен из одних только бюджетных ограничений . (См. Беккер 1962, « Нерациональное поведение и экономическая теория» .) То есть этот фундаментальный экономический результат может быть получен из реальности ограниченных ресурсов - без учета рациональности.

• Условие отсутствия арбитража является применением теоремы линейной двойственности ( лемма Фаркаша ). Многое в экономике и финансах (ценообразование активов) может быть сделано только при условии, что в экономическом равновесии нет арбитража.

Дополнительные заметки:

Гэри Беккер добился значительных успехов в этой области, изучая, как ограничения влияют на поведение человека. Одна известная цитата, взятая из его лекции по Нобелевской премии, - это замечание о том, что «разные ограничения являются решающими для разных ситуаций, но наиболее фундаментальным ограничением является ограниченное время». (Некоторое обсуждение здесь .) Еще несколько ресурсов о том, как его работа в этом отношении может быть найдена здесь и здесь .

Линейная двойственность может использоваться для описания условия отсутствия арбитража. В более общем смысле, эта теорема обычно доказывается с помощью теоремы о гиперплоскости , которая является математическим инструментом, который часто встречается в учебниках по экономике.

Кроме того, имейте в виду, что достаточно просто предположить, что в экономическом равновесии арбитраж примерно отсутствует.

Хотя я согласен с Джотирмой Бхаттачарьей в том, что наиболее интересные идеи в экономике не всегда лучше всего выражаются через уравнения, я все же хочу упомянуть Слуцкий или компенсированный закон спроса из теории потребителей.

где - любые два вектора цен, - любой уровень дохода, а - это функция спроса.$p',p \in \mathbb{R}_{++}^n$$w \in \mathbb{R}_+$$x(\cdot,\cdot) \in \mathbb{R}^n$

Базовое соотношение на пару порядков достоверности отличается от фундаментальных уравнений в других областях. Кроме того, это не обосновывает дисциплину, в том смысле, что она используется не так часто.

Тем не менее, я склонен рассматривать это как основополагающее, потому что

• Это абсолютно нетривиальное следствие трех простых и фундаментальных допущений в теории потребителей, а именно:
  • Что функция спроса однородна нулевой степени (нет иллюзии денег)$x(\cdot,\cdot)$
  • Закон Вальраса (люди не сжигают деньги)
  • Слабая аксиома выявленных предпочтений (если вы выбрали A, когда B доступен «сегодня», вы не выберете B «завтра», если A останется доступным)
• Поэтому проверка неравенства эквивалентна совместной проверке этих трех допущений.
• Три предположения используются в подавляющем большинстве (может быть, более 90%?) Моделей, включая потребителей в экономической теории.
• Поэтому их достоверность (по крайней мере, в виде приближений) имеет решающее значение для достоверности большинства моделей в экономической теории (по крайней мере, в качестве приближенных значений).
• Хотя не всегда очевидно, как соотносить понятия цен, товаров и доходов с наблюдаемыми, все элементы в уравнении являются наблюдаемыми в принципе (в отличие, например, от уровней полезности), и поэтому справедливость неравенства можно проверить эмпирически. ,

Я не думаю, что есть какие-либо экономические уравнения с таким же статусом, как, скажем, уравнения Максвелла в физике. Вместо этого у нас есть такие понятия, как эквимаргинальный принцип, конкурентное равновесие или равновесие Нэша, которые лежат в основе «подхода экономиста». Но я думаю, что реальная ценность экономики заключается не в самих этих идеях, а в том, что мы знаем о конкретных проблемах в конкретных областях применения: например, в том, что мы знаем о бизнес-циклах в макросе. В этой экономике экономика больше похожа на медицину, чем на физику.

Для меня одним из самых важных является ограничение бюджета. Это может показаться слишком очевидным, но многие непрофессионалы (хотя, возможно, и не физики) не понимают этого!

$p⋅x \leq w$

Немного опоздал к игре, но я удивлен, что никто не назвал уравнение для вычисления оценок OLS:

Хотя это и не так фундаментально, как, например, уравнение Слуцкого, условие для индекса Лернера состоит в том, что максимизирующая прибыль фирма с ценой , стоимостью и ценовой эластичностью спроса имеет является важным уравнением в промышленной организации.$p$$c$$\eta$

Это не только элегантная формулировка решения проблемы фирмы, но и практически полезная:

• Фирма , которая оценивает его и знает его можно использовать эту формулу для расчета прибыли на максимизацию цену.$\eta$$c$
• Регулятор, который наблюдает за и оценивает может использовать формулу для вычисления важно во многих формах регулирования.$p$$\eta$$c$

Уже написано, но уравнение Эйлера в непрерывном времени дает

где - межвременная эластичность замещения, процентная ставка и - ставка дисконта (уровень нетерпения).$\sigma$$r$$\rho$

Основой межвременной экономики является уравнение чистой приведенной стоимости . Таким образом, чистая приведенная стоимость потока будущих доходов - это годовые доходы, деленные на соответствующий коэффициент дисконтирования, основанный на преобладающей процентной ставке r, принятой в n-й степени, где n - количество лет.

Для микроэкономики их несколько, но все они следуют одной и той же схеме.

Здесь я попытаюсь преподавать целый промежуточный курс по микроэкономике в одном посте.

Большинство проблем микроэкономики следуют этому формату:

Несмотря на то, что вы не учитываете некоторые мелкие детали, если вы делаете достаточно микроэкономической практики, проблемы через некоторое время выглядят одинаково. Это то, чем я хочу поделиться.

Производственные / коммунальные функции

Существует три основных типа функций полезности / производства, которым вы будете подвергаться на промежуточном курсе по микроэкономике ¹ . Они есть:

1. Кобб Дуглас
   $$f(x_1,x_2)=x_1^ax_2^b$$
2. Леонтиф / Идеальное дополнение
   $$f(x_1,x_2)=\min\{x_1,x_2\}$$
3. Совершенные замены $$f(x_1,x_2)=x_1+x_2$$

Строки бюджета и функции затрат

В теории потребителей у вас есть бюджетная строка, представленная формулой:

В теории производителей мы называем это функцией стоимости.

мы либо хотим максимизировать потребление с учетом функции бюджета / затрат, либо минимизировать затраты, поддерживая постоянный уровень полезности / производительности. Для этого мы используем другое уравнение:

Множитель Лагранжа:

Хотя это и не исключительный инструмент экономики, как говорят, это основной инструмент для всех студентов, изучающих микроэкономику.

где - это либо функция строки бюджета / функция затрат, либо функция полезности / производства, когда она равна нулю.$H-g(x_1,x_2)$

Мы используем это для расчета полезности / прибыли, максимизирующих пакеты / ресурсы потребления, или для минимизации затрат, удерживающих прибыль / полезность постоянной.

И это упаковка! *

_{* Хотя есть что сказать по маршалловским и хиксианским требованиям, я оставлю это для заполнения другими.}