Основные уравнения в экономике

65

Для других наук легко указать на самые важные уравнения, которые основывают дисциплину. Если я хочу объяснить экономику физику, скажем, что считается наиболее важными уравнениями, лежащими в основе предмета, который я должен ввести и попытаться объяснить?

Lumi
источник
1
Позволю себе не согласиться. Я думаю, что это важный вопрос для людей, которые хотели бы получить обзор области, на который, безусловно, можно ответить во всех других науках - и действительно, несколько превосходных ответов были опубликованы ниже. Это может быть разбито на макро / микро и т. Д., Но я думаю, что это упустит смысл.
Луми
1
Я считаю этот вопрос широким, но тем не менее интересным и заслуживающим обсуждения. Доказательством тому являются очень интересные ответы.
user157623
2
Я не согласен с решением «в ожидании». Характеризуя этот вопрос как «слишком широкий», мы, по сути, утверждаем, что «фундаментальных уравнений» экономики слишком много и они слишком разнообразны. Они действительно?
Алекос Пападопулос
@MartinVanderLinden Это очень хороший вопрос. Но я бы предложил сделать в более узком. Из какой части экономики возникают эти уравнения? Процентные ставки? ВВП? Даже такие темы, как «финансы» и «международная экономика», очень широки.
математик

Ответы:

47

Вместо того, чтобы предлагать конкретные уравнения, я укажу на две концепции, которые приводят к конкретным уравнениям для конкретных теоретических установок:

А) Равновесие
. Самая фундаментальная и самая неправильно понятая концепция в экономике. Люди оглядываются и видят постоянное движение - чем может быть более неуместна концепция, чем «равновесие»? Таким образом, работа здесь заключается в том, чтобы передать, что экономика моделирует наблюдение, что вещи в большинстве случаев имеют тенденцию «успокаиваться» - поэтому, характеризуя эту «фиксированную точку», она дает нам опору для понимания движений вне и вокруг этого равновесия (которое может меняться конечно).

Это не тот случай, когда « поставляемое количество равно требуемому количеству » (здесь есть фундаментальное уравнение)

Qd=Qs

но это тот случай, когда подача стремится к равным спросом (из ничего ) по причинам , что экономист должен уметь убедительно присутствовать кто заинтересован в прослушивании (и в глубине души все они должны делать с ограниченными ресурсами).

Также, определяя условия для равновесия, мы можем понять, когда мы наблюдаем расхождение, какие условия были нарушены.

Б) Предельная оптимизация при ограничениях.
В статической среде она приводит к уравнению предельных величин / первых производных функций.
Товарный рынок: предельный доход равен предельным издержкам .
Рынок ресурсов: предельный доход продукта равен предельному вознаграждению (рента, заработная плата).
И т. Д. (Я специально исключил «максимизацию полезности» из этой картины, потому что здесь сначала нужно представить, что же такое «индекс полезности», и насколько мы сумасшедшие ( не ), пытаясь смоделировать человека » наслаждение »через понятие полезности).

Возможно, вы могли бы охватить все это под общим названием «предельная выгода, равная предельным издержкам», как предлагали другие вопросы:

MB=MC

Экономисты живут в условиях предельной оптимизации, и большинство считает ее очевидной. Но если вы попытаетесь объяснить это постороннему, есть респектабельная вероятность, что он будет возражать или оставаться убежденным, вместо этого обычно предлагая «среднюю оптимизацию» как «более реалистичную», поскольку «люди не вычисляют производные» (мы не утверждают, что они делают, только что их мыслительные процессы могут быть смоделированы, как если бы они были). Таким образом, нужно изложить свою историю о предельной оптимизации с убедительными примерами и дискуссией на тему «почему не средняя оптимизация».

В межвременном контексте это приводит к дисконтированному компромиссу между «настоящим и будущим», опять же «на полях» - начиная с «уравнения Эйлера в потреблении» , который в своей дискретной детерминированной версии гласит:

u(ct)=β(1+rt+1)u(ct+1)

... а тему полезности нельзя избежать, в конце концов: - предельная полезность от потребления, - ставка дисконтирования, а - процентная ставка.0 < β < 1 r t + 1u()0<β<1rt+1

( не обращайтесь к статье в википедии об уравнении Эйлера в потреблении, концепция, лежащая в его основе, гораздо более широко применима и фундаментальна, чем конкретное приложение, которое обсуждается в статье в википедии).

Интересно, что хотя динамическая экономика более технически сложна, я нахожу это более интуитивно привлекательным, поскольку люди, кажется, понимают лучше: «то, что вы сэкономите сегодня, определит, что вы будете потреблять завтра», чем «ваша ставка заработной платы будет продуктом предельного дохода для всех». трудовой труд ".

Алекос Пападопулос
источник
1
-1 "по причинам, которые любой экономист должен быть в состоянии убедительно представить всем, кто заинтересован в прослушивании" Если, конечно, те экономисты, которые действительно пытались объяснить, как эта динамика должна работать. Посмотрите, например, этот отрезвляющий опрос Франклина М. Фишера, возможно, ведущего авторитета в этой области.
Майкл Грейнекер
@MichaelGreinecker Я один из "тех экономистов", и у меня никогда не возникает проблем с объяснением этого. Кстати, спасибо за ссылку, хотя эта ссылка относится к концепции «конкурентного общего равновесия», которая является платоновским идеалом и не имеет ничего общего с концепцией «равновесия», как я ее понимаю ... ПРОДОЛЖЕНИЕ
Алекос Пападопулос
2
@MichaelGreinecker CONTD ...- и я понимаю это как тенденцию, а не как ситуацию, в которой мы обычно находимся. Потому что, если бы мы оказались в равновесии, вещи не двигались бы - что противоположно тому, что мы наблюдаем ... И это именно то различие, которое я сделал в своем ответе. Как афоризм, мир пытается быть вальрасианским, и, пытаясь это сделать, он лишает нас шумпетерианства. И тогда он снова пытается стать вальрасианцем ... до бесконечности
Алекос Пападопулос
Это как раз проблема с частичным рассуждением равновесия Я, конечно, знаком с историями, которые рассказывают 101 студенту о том, что избыточный спрос ведет к росту цен, а избыточное предложение - к снижению цен, так что «рынки стремятся к равновесию». Что удобно скрывает эта история, так это то, что в этом процессе другие рынки могут быть расстроены. И, конечно, теория вальрасианского равновесия сильно идеализирована, но модели частичного равновесия тем более.
Майкл Гринекер,
31

Как уже было сказано, фундаментальное уравнение MOST, безусловно, таково:

MB=MC

РЕДАКТИРОВАТЬ: Это уравнение является фундаментальным с точки зрения мышления экономистов. Как указано в комментариях ниже, в терминах фундаментальных уравнений экономических моделей наиболее фундаментальные уравнения описывают эквивалентности между использованием и поставками предметов (денег, товаров и т. Д.). Они обеспечивают напряжение предельной стоимости этого уравнения.

Я бы добавил уравнения, относящиеся к сравнительной статике:

Если мы можем претендовать на теоретиков игр или математиков, чьи уравнения мы используем постоянно:

  • f(x)=i=1mμigi(x)+j=1lλjhj(x)
    gi(x)0, for all i=1,,m
    hj(x)=0, for all j=1,,l
    μi0, for all i=1,,m
    μigi(x)=0,for alli=1,,m.
  • θi=argmaxθiui(θi,θi)
  • Принцип откровения : что справедливо, не столько уравнение, сколько теорема ...
  • Уравнение Беллмана
    V(x)=maxcΩ(x)U(x,z)+β[V(x)]
jayk
источник
Я бы предположил, что есть некоторые неравенства, которые даже более фундаментальны, чем первое уравнение выше. В отличие от уравнений, которые представляют приближения, некоторые из неравенств представляют абсолютные. Например, общее количество того, что люди смогут себе позволить, не может превышать общее количество, которое будет существовать. Если число людей, которые хотели бы иметь что-то, превышает количество, которое существует, если больше не произведено, или некоторые люди перестают хотеть этого, не каждый, кто хочет чего-либо, получит один, независимо от того, что еще сделано.
суперкат
Это честно. Я полагаю, что бюджетные ограничения также являются «более фундаментальными» в этом смысле.
Джейк
Если кто-то предлагает политику, которая в случае успеха нарушит одно из нормальных уравнений, связанных с экономикой, к такому человеку следует обратиться, чтобы оправдать ожидание того, что уравнение не будет выполнено в этом случае, но поскольку большинство уравнений не выполняется 100% времени было бы правдоподобно, что политика могла бы работать, несмотря на уравнение, предлагающее иное. С другой стороны, нельзя разумно ожидать, что политика, которая не сможет достичь своих заявленных целей без нарушения некоторых фундаментальных неравенств, приведет к достижению этих целей; ни один мудрый человек не мог бы ожидать другого.
суперкат
Получает ли мое редактирование выше то, что вы пытаетесь выразить? Я вижу в этом разницу в формулировке термина «фундаментальный». Похоже, вы имеете в виду, что физические ограничения являются наиболее фундаментальным элементом любой экономической модели , с которой я согласен. Но я вижу как наиболее фундаментальный элемент в наборе инструментов для экономистов, потому что он объединяет эти ограничения с понятиями эффективного использования. Я особенно люблю это, потому что это общее уравнение, в то время как физические ограничения, как правило, устанавливаются по-разному для разных ситуаций. MB=MC
Джейк
Если представить себе состояние экономической системы как мрамор, катящийся по холмистой поверхности, уравнения определяют углубления, по которым мрамор будет стремиться катиться, но ограничивающие неравенства определяют границы. Простое знание границ, в которых мрамор ограничен, без знания того, как он будет вести себя в них, не очень полезно, но также предсказание поведения мрамора, которое игнорирует существование границы между его нынешним положением и ожидаемым будущим положением, склонно к быть очень неправым. В некотором смысле, однако, я думаю, что ограничения несколько более фундаментальны ...
суперкат
22

Большая часть введения - это пересекающиеся линии. В частности,

MB=MC
* Равновесие достигается, когда предельная выгода равна предельной стоимости *

MUxpx=MUypy.
Предельная полезность за единицу стоимости всегда должна быть равна

Экономика о логике человеческого поведения, о том, как мы принимаем решения в мире дефицита. Эти уравнения описывают ограниченную оптимизацию при некоторых обычных предположениях, таких как непрерывность, выпуклые предпочтения и отсутствие угловых решений. Я бы также сделал ставку на потребительскую теорию, а не на производителя. Большую часть теории производителей можно понять с помощью тех же инструментов, что и в теории потребителей.

Pburg
источник
Я думаю, что философски теория потребителей более противоречива, чем теория производителей. Даже если фирмы не ведут себя совершенно рационально оптимизирующими агентами, имеет смысл, что они могут хотеть или должны этого не обязательно говорить о потребителях. Есть ли основания считать теорию производителя использованием инструментов теории потребителей или это просто порядок, в котором пошлины вводятся в учебниках? Я думаю, что закон Вальраса довольно фундаментален, его нужно добавить в уравнение MB = MC, чтобы показать результат работы агентов таким образом.
Имеет смысл предположить, что потребители являются рациональными оптимизаторами. Это беззубое утверждение (полные и переходные предпочтения). Просто намного сложнее понять, какова цель человека. Я думаю о теории производителей как о частном потребителе. Они - нейтральные к риску потребители, которые получают полезность от долларов.
Пбург
18

Я думаю, что одно из наиболее важных уравнений (по крайней мере, в макроэкономике):

E[mR]=1

Это уравнение было использовано для получения многих основополагающих результатов. Это уравнение мотивировало границу Хансена – Джаганнатана . Это также важно для оценки активов.

Кроме того, кое-что интересное я видел однажды от Тома Сарджента. Если вы используете стохастический коэффициент дисконтирования для стандартной модели то в зависимости от того, какая часть Уравнение, которое вы позволяете быть экзогенным, вы можете получить некоторые фундаментальные результаты макроса:m=βEt[u(ct+1)u(ct)]

  • Гипотеза о постоянном доходе: Пусть тогда мы получимβR=1ct=E[ct+1]
  • Модель ценообразования Lucas Asset: пусть процесс потребления будет задан. Тогда цена актива может быть описана какRt1=pt=E[u(ct+1)u(ct)]
cc7768
источник
18

Однажды я слышал, как Роджер Майерсон говорил о том, почему он считал, что экономика, как обществоведение, так успешно применила (или так легко внедрила) математику. Он предположил, что, возможно, это было связано с некоторыми фундаментальными линейными связями в мире. Двумя примерами могут служить ограничения баланса дефицитных товаров (товарные ограничения) и условия отсутствия арбитража. Это принципиально линейные ограничения.

  • Важно подчеркнуть важность этого, потому что мы можем получить удивительное количество из двух. Например, многие люди думают, что закон спроса является следствием принятия рациональности (в частности, предпочтения, которые показывают снижение предельной нормы замещения). Результат из-за Гэри Беккера показывает, что закон спроса (хотя и немного более слабая версия) может быть получен из одних только бюджетных ограничений . (См. Беккер 1962, « Нерациональное поведение и экономическая теория» .) То есть этот фундаментальный экономический результат может быть получен из реальности ограниченных ресурсов - без учета рациональности.

  • Условие отсутствия арбитража является применением теоремы линейной двойственности ( лемма Фаркаша ). Многое в экономике и финансах (ценообразование активов) может быть сделано только при условии, что в экономическом равновесии нет арбитража.

Дополнительные заметки:

Гэри Беккер добился значительных успехов в этой области, изучая, как ограничения влияют на поведение человека. Одна известная цитата, взятая из его лекции по Нобелевской премии, - это замечание о том, что «разные ограничения являются решающими для разных ситуаций, но наиболее фундаментальным ограничением является ограниченное время». (Некоторое обсуждение здесь .) Еще несколько ресурсов о том, как его работа в этом отношении может быть найдена здесь и здесь .

Линейная двойственность может использоваться для описания условия отсутствия арбитража. В более общем смысле, эта теорема обычно доказывается с помощью теоремы о гиперплоскости , которая является математическим инструментом, который часто встречается в учебниках по экономике.

Кроме того, имейте в виду, что достаточно просто предположить, что в экономическом равновесии арбитраж примерно отсутствует.

jmbejara
источник
17

Хотя я согласен с Джотирмой Бхаттачарьей в том, что наиболее интересные идеи в экономике не всегда лучше всего выражаются через уравнения, я все же хочу упомянуть Слуцкий или компенсированный закон спроса из теории потребителей.

(pp)[x(p,px(p,w))x(p,w)]T0,

где - любые два вектора цен, - любой уровень дохода, а - это функция спроса.p,pR++nwR+x(,)Rn

Базовое соотношение на пару порядков достоверности отличается от фундаментальных уравнений в других областях. Кроме того, это не обосновывает дисциплину, в том смысле, что она используется не так часто.

Тем не менее, я склонен рассматривать это как основополагающее, потому что

  • Это абсолютно нетривиальное следствие трех простых и фундаментальных допущений в теории потребителей, а именно:
    • Что функция спроса однородна нулевой степени (нет иллюзии денег)x(,)
    • Закон Вальраса (люди не сжигают деньги)
    • Слабая аксиома выявленных предпочтений (если вы выбрали A, когда B доступен «сегодня», вы не выберете B «завтра», если A останется доступным)
  • Поэтому проверка неравенства эквивалентна совместной проверке этих трех допущений.
  • Три предположения используются в подавляющем большинстве (может быть, более 90%?) Моделей, включая потребителей в экономической теории.
  • Поэтому их достоверность (по крайней мере, в виде приближений) имеет решающее значение для достоверности большинства моделей в экономической теории (по крайней мере, в качестве приближенных значений).
  • Хотя не всегда очевидно, как соотносить понятия цен, товаров и доходов с наблюдаемыми, все элементы в уравнении являются наблюдаемыми в принципе (в отличие, например, от уровней полезности), и поэтому справедливость неравенства можно проверить эмпирически. ,
Мартин Ван дер Линден
источник
Я бы добавил, что это становится еще лучше: есть три закона спроса, которые эквивалентны (и сводятся к отрицательной полуопределенности Слуцкого) в бесконечно малом случае, но различны в целом. После изменения цены с на вы можете либо (1) отрегулировать богатство таким образом, чтобы он мог купить старый пакет, (2) отрегулировать богатство так, чтобы полезность была постоянной, либо (3) отрегулировать богатство так, чтобы вновь выбранный пакет мог быть куплен вчера - во всех случаях вы получаете закон спроса. (Это, возможно, законы сверхкомпенсированного, компенсированного и недостаточно компенсированного спроса соответственно.)pp
номинально жестко
12

Я не думаю, что есть какие-либо экономические уравнения с таким же статусом, как, скажем, уравнения Максвелла в физике. Вместо этого у нас есть такие понятия, как эквимаргинальный принцип, конкурентное равновесие или равновесие Нэша, которые лежат в основе «подхода экономиста». Но я думаю, что реальная ценность экономики заключается не в самих этих идеях, а в том, что мы знаем о конкретных проблемах в конкретных областях применения: например, в том, что мы знаем о бизнес-циклах в макросе. В этой экономике экономика больше похожа на медицину, чем на физику.

Джотирмой Бхаттачарья
источник
Признание того, что совокупность видов деятельности имеет предел масштаба, по понятным причинам медленно, поскольку экономические события оцениваются в концептуальном и количественном выражении системы, которая отвергает существование таких ограничений; В сущности, Максвелла можно слегка ввести в основу «подхода экономиста»: энтропия, ограничения роста и перспективы слабой устойчивости и аксиоматическая база: десять доказательств обобщенного второго закона
Мореаки
9

Для меня одним из самых важных является ограничение бюджета. Это может показаться слишком очевидным, но многие непрофессионалы (хотя, возможно, и не физики) не понимают этого!

pxw

S_A
источник
Это не так уж важно, если вы помните о заимствовании.
user829438
8

Немного опоздал к игре, но я удивлен, что никто не назвал уравнение для вычисления оценок OLS:

β^=(XX)1Xy
Герр К.
источник
7

Хотя это и не так фундаментально, как, например, уравнение Слуцкого, условие для индекса Лернера состоит в том, что максимизирующая прибыль фирма с ценой , стоимостью и ценовой эластичностью спроса имеет является важным уравнением в промышленной организации.pcη

pcp=1η

Это не только элегантная формулировка решения проблемы фирмы, но и практически полезная:

  • Фирма , которая оценивает его и знает его можно использовать эту формулу для расчета прибыли на максимизацию цену.ηc
  • Регулятор, который наблюдает за и оценивает может использовать формулу для вычисления важно во многих формах регулирования.pηc
Вездесущий
источник
7

Уже написано, но уравнение Эйлера в непрерывном времени дает

C˙C=σ(rρ)

где - межвременная эластичность замещения, процентная ставка и - ставка дисконта (уровень нетерпения).σrρ

оптимальное управление
источник
6

Основой межвременной экономики является уравнение чистой приведенной стоимости . Таким образом, чистая приведенная стоимость потока будущих доходов - это годовые доходы, деленные на соответствующий коэффициент дисконтирования, основанный на преобладающей процентной ставке r, принятой в n-й степени, где n - количество лет.

Том Ау
источник
NPV, как описано в связанной статье в Википедии, не кажется таким общим и центральным для экономики, как , например. E[mR]=1
Джмбехара
@jmbejara: это основа финансов, так как это касается стоимости облигаций, ипотеки на вашем доме и т. д.
Том Ау
1
Я знаю. Я имею в виду, что, если мы подумаем об более общем смысле (например, отбросим интерпретацию равновесия), она может охватывать NPV, как вы ее описали. Но это также может сделать гораздо больше. Если вы напишите его как и вы рассматриваете как поток будущих денежных потоков, а как соответствующий коэффициент дисконтирования, вы можете восстановить свое определение NPV. E[mR]=1E[mX]=PXm
Джмбехара
3

Для микроэкономики их несколько, но все они следуют одной и той же схеме.

Здесь я попытаюсь преподавать целый промежуточный курс по микроэкономике в одном посте.

Большинство проблем микроэкономики следуют этому формату:

Несмотря на то, что вы не учитываете некоторые мелкие детали, если вы делаете достаточно микроэкономической практики, проблемы через некоторое время выглядят одинаково. Это то, чем я хочу поделиться.

Производственные / коммунальные функции

Существует три основных типа функций полезности / производства, которым вы будете подвергаться на промежуточном курсе по микроэкономике 1 . Они есть:

  1. Кобб Дуглас
    f(x1,x2)=x1ax2b
  2. Леонтиф / Идеальное дополнение
    f(x1,x2)=min{x1,x2}
  3. Совершенные замены
    f(x1,x2)=x1+x2

Строки бюджета и функции затрат

В теории потребителей у вас есть бюджетная строка, представленная формулой:

m=p1x1+p2x2

В теории производителей мы называем это функцией стоимости.

C(x1,x2)=w1x1+w2x2

мы либо хотим максимизировать потребление с учетом функции бюджета / затрат, либо минимизировать затраты, поддерживая постоянный уровень полезности / производительности. Для этого мы используем другое уравнение:

Множитель Лагранжа:

Хотя это и не исключительный инструмент экономики, как говорят, это основной инструмент для всех студентов, изучающих микроэкономику.

L=f(x1,x2)±λ(Hg(x1,x2))

где - это либо функция строки бюджета / функция затрат, либо функция полезности / производства, когда она равна нулю.Hg(x1,x2)

Мы используем это для расчета полезности / прибыли, максимизирующих пакеты / ресурсы потребления, или для минимизации затрат, удерживающих прибыль / полезность постоянной.

И это упаковка! *


* Хотя есть что сказать по маршалловским и хиксианским требованиям, я оставлю это для заполнения другими.

EconJohn
источник