Завершите рынки в непрерывном времени

В стандартной экономике с дискретным временем и конечным числом штатов $n$ , полная рыночная экономика - это просто экономика с $n$ независимыми активами (вспомним Ljunqvist and Sargent, глава 8). Это потому, что $n$ независимых активов достаточно, чтобы охватить множество штатов завтра.

На прошлой неделе у меня была дискуссия с профессором, в которой он заявил, что одно из удобных условий непрерывного времени при оценке цен на активы состоит в том, что в условиях непрерывной экономики можно получить полноценные рынки просто с помощью безрисковой облигации и рискованного актива ( независимо) для каждого броуновского движения в экономике.

Он объяснил это, когда мы разговаривали, так что, я думаю, я в основном понимаю это, но мне было интересно, если кто-то возражает записать детали?

Вероятно, на этой неделе я потрачу на это день или два (зависит от некоторых свойств дифференциального исчисления), поэтому, если никто не ответит на вопрос, то, надеюсь, я смогу дать удовлетворительный ответ.

Я последний человек, который должен отвечать на подобные вопросы непрерывного времени, но если больше никого нет, думаю, я сделаю это. (Любое исправление моих смутно запомненных непрерывных финансов очень приветствуется.)

У меня всегда сложилось впечатление, что это лучше всего интерпретировать как следствие теоремы о мартингальном представлении . Во-первых, однако, я свободно установлю некоторые обозначения. Пусть пространство вероятностей порождено независимыми винеровскими процессами ( Z 1 t , … , Z n t ) . Пусть будет n + 1 активов, где стоимость i- го актива в момент времени t определяется как S i t . Предположим, что актив i = 0 t = r t $n$$(Z_t^1,\ldots,Z_t^n)$$n+1$$i$$t$$S_t^i$$i=0$ является безрисковой облигацией , в то время как активыi=1,…,nкаждый являются рискованными и управляются соответствующимZ i t : dS i t =μ i t dt+σ i t dZ i t Предположим, что существует строго положительный SDF-процессmt,нормированный наm0=1, такой, чтоm$dS_t^0=r_tS_t^0dt$$i=1,\ldots,n$$Z_t^i$

$$dS_t^i=\mu_t^idt+\sigma_t^idZ_t^i$$ $m_t$$m_0=1$ - мартингейл для каждого i (в основном определение SDF) и где d m t = ν t d t + ψ t ⋅ d Z t (я использую ⋅ как скалярное произведение, что будет удобно.)$m_tS_t^i$$i$ $$dm_t=\nu_t dt+\psi_t\cdot dZ_t$$ $\cdot$

Наконец, пусть мерный вектор θ t будет нашим портфелем в момент времени t , так что собственный капитал A t определяется как A t = θ t ⋅ S t . Предположим , что 0 фиксировано и что в дальнейшем мы имеем д т = θ т ⋅ д S $n+1$$\theta_t$$t$$A_t$$A_t=\theta_t\cdot S_t$$A_0$

$$dA_t=\theta_t\cdot dS_t$$ Теперь я сформулирую цель, которая отражает суть завершенных рынков. Предположим, что мир заканчивается в момент времени , и мы хотим, чтобы собственный капитал A $T$$A_T$равной определенной стохастической , который может зависеть от полной истории вплоть до момента времени T . Предположим , что A 0 = E 0 [ м T Y ] , так что в мире с полным рынках мы могли бы (при т = 0 ) использовать наше первоначальное богатство A 0 , чтобы купить время т = Т выплаты Y . В отсутствие этих прямых полных рынков вопрос заключается в том, существует ли, тем не менее, некоторая стратегия для портфеля θ t , которая позволит нам получить A $Y$$T$$A_0=E_0[m_TY]$$t=0$$A_0$$t=T$$Y$ $\theta_t$ во всех штатах мира. И ответ в этой ситуации - да.$A_T=Y$

Во- первых, можно вычислить . Таким образом, m t S t, являющийся мартингалом, подразумевает, что m t A t является мартингалом. Таким образом, мы имеем A T = Y ⟺ m T A T = m T Y тогда и только тогда, когда m t A t$d(m_tA_t)=\theta_t\cdot d(m_tS_t)$$m_tS_t$$m_tA_t$$A_T=Y\Longleftrightarrow m_TA_T=m_TY$ для всех t ∈ [ 0 , T ] . Обратите внимание, что это верно для t = 0 по предположению; следовательно, чтобы получить равенство, нужно только доказать, что приращения всегда равны с обеих сторон.

$$m_tA_t=E_t[m_TY]$$ $t\in[0,T]$$t=0$

$E_t[m_TY]$

$$E_t[m_TY]=E_0[m_TY]+\int_0^t \phi_s\cdot dZ_s$$ $\phi_s$$d(m_tA_t)=\phi_t\cdot dZ_t$ $$d(m_tA_t)=\sum_i (m_t\theta_t^i \sigma_t^i +A_t\psi_t^i)dZ_t^i$$ $m_t\theta_t^i\sigma_t^i +A_t\psi_t^i=\phi_t^i$$i=1,\ldots,n$$\theta_t^i$ Выбор портфеля безрисковых активовθ 0 t затем может быть отменен изAt=θ $$\theta_t^i=\frac{\phi_t^i-A_t\psi_t^i}{m_t\sigma_t^i}$$ $\theta_t^0$$A_t=\theta_t\cdot S_t$

$A_t$$m_tA_t=E_t[m_TY]$$m_t$$dZ_t^i$$\theta_t$$dA_t$$dZ_t^i$$n$$n$

Я давно хотел это опубликовать. Я сталкивался с этим и думал, что это может добавить некоторое понимание. Этот пример взят из «Теории ценообразования финансовых активов» Мунка.

Рассмотрим следующий рисунок. Сколько активов нам нужно, чтобы иметь полный рынок?

$N$$N$ «достаточно разных активов» (в обычной статической настройке это означает линейно независимую). Однако в динамической настройке это не так. Мунк объясняет это на основе двух разных наблюдений:

(i) неопределенность не раскрывается полностью сразу, но постепенно, и (ii) мы можем динамично торговать активами. В примере есть три возможных перехода экономики от времени 0 к времени 1. Из нашего однопериодного анализа мы знаем, что трех достаточно разных активов достаточно, чтобы «охватить» эту неопределенность. Со времени 1 во время 2 возможны два, три или один возможный переход экономики, в зависимости от того, в каком состоянии находится экономика в момент времени 1. В большинстве случаев нам нужны три достаточно разных актива, чтобы охватить неопределенность в течение этого периода. В целом, мы можем генерировать любой процесс дивидендов, если у нас есть доступ к трем достаточно различным активам в обоих периодах.

В случае общей многочленной версии дерева более общего конечного состояния рынка с дискретным временем мы можем для каждого узла в дереве определить число охвата как число ветвей поддерева, покидающих этот узел. Рынок тогда завершается, если для любого узла в дереве количество линейно независимых торгуемых активов в течение следующего периода равно номеру охвата.

Теперь, в случае модели с непрерывным временем, когда неопределенность генерируется стандартным броуновским движением d-измерения, аргумент является сложным, но Мунк дает некоторые идеи, основанные на предыдущем обсуждении.

Результат довольно интуитивный, учитывая следующие наблюдения:

1. Для постоянных изменений в одно мгновение важны только средние и средние значения.
2. $dz_i$$d+1$$dz_t$$dz_t$$dt$$\epsilon$$\sqrt{dt}$$1/2$$-\sqrt{dt}$$1/2$
3. Благодаря непрерывной торговле мы можем корректировать наше воздействие внешних потрясений в любой момент.

$d+1$$d+1$