Двойственность минимизации затрат и максимизации прибыли

$\Pi$

$$\begin{align} \max_{K,L}\{\Pi(K,L) = F(K,L) - RK - wL\} \end{align}$$ $F$$R$$K$$w$$L$ $$\begin{align} \Pi_K &= 0 \Leftrightarrow R = F_k\\ \Pi_L &= 0 \Leftrightarrow w = F_L. \end{align}$$

При этом (2.6) и (2.7) и соответственно. Фирма пытается минимизировать затраты где - некоторый выходной уровень. Настройте лагранжиан $w=F_L$$R=F_K$

$$\begin{align} &\min_{K,L}\{RK + wL\}\\ \text{s.t.}~~& F(k,L) = Y \end{align}$$ $Y$ $$\begin{align} \mathcal{L} = RK + wL + \lambda(F(K,L) - Y) \end{align}$$

ФОК определяются как

$$\begin{align} \mathcal{L}_K = 0& \Leftrightarrow R + \lambda F_K = 0\\ \mathcal{L}_L = 0& \Leftrightarrow w + \lambda F_L = 0\\ \mathcal{L}_\lambda = 0& \Leftrightarrow F(K,L) - Y = 0 \end{align}$$

• Я не понимаю, как мы можем предположить и из этих условий?$R = F_K$$w = F_L$

Если является однородной функцией степени один, то Это следует из определения однородности. , (Определение однородной функции можно найти здесь .) Это означает, что если существует максимальная прибыль, она равна нулю. В противном случае вы могли бы увеличить все входные данные, скажем, на 100%, тем самым увеличивая как доходы, так и затраты и, следовательно, прибыль на 100%. Итак, .$F(K,L)$

$$\Pi(K,L) = F(K,L) - R \cdot K - w \cdot L.$$ $\Pi(K^*,L^*) = 0$

По теореме Эйлера об однородной функции имеем :$\forall K,L$

$$\begin{align} \Pi(K,L) &= \Pi_K(K,L) \cdot K + \Pi_L(K,L) \cdot L \\ \Pi(K,L) &= (F_K(K,L) - R) \cdot K + (F_L(K,L) - w) \cdot L. \end{align}$$

Поскольку , мы имеем Мы знаем, что , поэтому, если мы можем показать, что знаки и совпадения мы докажем, что они равны нулю. В противном случае одна сторона уравнения будет отрицательной, а другая положительной. Из минимизации затрат вы получаете Если то если то $\Pi(K^*,L^*) = 0$

$$-(F_K(K^*,L^*) - R) \cdot K^* = (F_L(K^*,L^*) - w) \cdot L^*$$ $K^*,L^* \geq 0$$(F_K(K^*,L^*) - R)$$(F_L(K^*,L^*) - w)$ $$\begin{align} R + \lambda F_K & = 0\\ w + \lambda F_L & = 0. \end{align}$$ $\lambda >1$ $$\begin{align} F_K(K^*,L^*) - R & < 0\\ F_L(K^*,L^*) - w & < 0, \end{align}$$ $\lambda =1$ $$\begin{align} F_K(K^*,L^*) - R & = 0\\ F_L(K^*,L^*) - w & = 0. \end{align}$$ и если то $\lambda <1$ $$\begin{align} F_K(K^*,L^*) - R & > 0\\ F_L(K^*,L^*) - w & > 0, \end{align}$$

поэтому знаки действительно совпадают, поэтому

$$\begin{align} F_K(K^*,L^*) - R & = 0\\ F_L(K^*,L^*) - w & = 0. \end{align}$$