Двойственность минимизации затрат и максимизации прибыли

1

Π

maxK,L{Π(K,L)=F(K,L)RKwL}
FRKwL
ΠK=0R=FkΠL=0w=FL.

введите описание изображения здесь

При этом (2.6) и (2.7) и соответственно. Фирма пытается минимизировать затраты где - некоторый выходной уровень. Настройте лагранжиан w=FLR=FK

minK,L{RK+wL}s.t.  F(k,L)=Y
Y
L=RK+wL+λ(F(K,L)Y)

ФОК определяются как

LK=0R+λFK=0LL=0w+λFL=0Lλ=0F(K,L)Y=0
  • Я не понимаю, как мы можем предположить и из этих условий?R=FKw=FL
невежественный
источник

Ответы:

3

Если является однородной функцией степени один, то Это следует из определения однородности. , (Определение однородной функции можно найти здесь .) Это означает, что если существует максимальная прибыль, она равна нулю. В противном случае вы могли бы увеличить все входные данные, скажем, на 100%, тем самым увеличивая как доходы, так и затраты и, следовательно, прибыль на 100%. Итак, .F(K,L)

Π(K,L)=F(K,L)RKwL.
Π(K,L)=0

По теореме Эйлера об однородной функции имеем :K,L

Π(K,L)=ΠK(K,L)K+ΠL(K,L)LΠ(K,L)=(FK(K,L)R)K+(FL(K,L)w)L.

Поскольку , мы имеем Мы знаем, что , поэтому, если мы можем показать, что знаки и совпадения мы докажем, что они равны нулю. В противном случае одна сторона уравнения будет отрицательной, а другая положительной. Из минимизации затрат вы получаете Если то если то Π(K,L)=0

(FK(K,L)R)K=(FL(K,L)w)L
K,L0(FK(K,L)R)(FL(K,L)w)
R+λFK=0w+λFL=0.
λ>1
FK(K,L)R<0FL(K,L)w<0,
λ=1
FK(K,L)R=0FL(K,L)w=0.
и если то λ<1
FK(K,L)R>0FL(K,L)w>0,

поэтому знаки действительно совпадают, поэтому

FK(K,L)R=0FL(K,L)w=0.
Giskard
источник
К сожалению, добавил линейный homogeneinty из . На самом деле я хотел бы показать обратный случай. Можно ли получить условия максимизации прибыли и от минимизации затрат, как утверждает Ацемоглу? Здесь вы показываете, что условия минимизации затрат могут быть получены из максимизации прибыли. FR=FKw=FL
невежественный
@clueless Да, и я думаю, что мой ответ покрывает это, но я буду редактировать, чтобы уточнить.
Жискар