Маршаллианский спрос на Кобба-Дугласа

10

При попытке максимизировать полезность, имеющую функцию полезности Кобба-Дугласа , с , я нашел следующие формулы ( Википедия: Маршалловское требование ): а + б = 1u=x1ax2ba+b=1

x1=amp1x2=bmp2

В одной из моих книг я также нахожу эти формулы для той же цели:

x1=aa+bmp1x2=ba+bmp2

С : цены на товары; : бюджет мpim

Я проверил их все, и они дали одинаковые результаты.
Так есть ли различия?

user1170330
источник
это относится к исключительно? кх 1 б х 2ax1bx2
Jamzy
Можете ли вы исправить некоторые обозначения? Во втором примере a и b являются показателями в функции полезности x1 и x2? Они составляют 1? Является ли y в первой задаче таким же, как m во второй?
BKay
@Jamzy: Да, это так.
user1170330
@BKay: Пожалуйста, смотрите мои обновленные записи.
user1170330

Ответы:

12

Поскольку уравнения в точности совпадают. Подстановка для с в третьем и четвертом уравнениях дает первое и второе уравнения.a + b 1a+b=1a+b1

BKay
источник
Можно ли редактировать эти формулы для работы с такой утилитой, как ? Так с дополнительным номером перед ? х яu=5x10.52x20.5xi
user1170330
Я предлагаю задать это как новый вопрос.
BKay
Что если ? Должен ли я использовать формулы 3 и 4 в этом случае? a+b1
user1170330
@ user1170330 если все еще работаетa+b1
Jamzy
5

Вот как вы переходите от своего первого уравнения ко второму. Ваша функция полезности - это так как я немного изменю ее на a и (1-a). Чтобы оптимизировать эти два варианта, вам нужно максимизировать полезность , по вашему выбору переменных. a + b = 1u(x1,x2)=x1ax2ba+b=1

подлежит с использованием закона Вальраса. В основном, чтобы оптимизировать утилиту, все деньги будут потрачены.p1x1+p2x2=w

Функции Кобба-Дугласа обычно трудны для задач оптимизации. Можно использовать монотонное преобразование, которое сохраняет порядковые свойства функции.

aln(x1)+(1a)ln(x2)

Это будет использоваться вместо. Будет применяться то же бюджетное ограничение.

Условия Лагранжа и первого порядка приведены ниже

L=aln(x1)+(1a)ln(x2)λ(wp1x1p2x2)

δLδx1=ax1λp1=0

δLδx2=1ax2λp2=0

манипулирование условиями первого порядка приводит к

λ=ax1p1

λ=(1a)x2p2

ax1p1=(1a)x2p2

подстановка в бюджетное ограничениеp2x2=wp1x1

ax1p1=(1a)wp1x1

x1=wap1

и

p1x1=wp2x2

awp2x2=(1a)p2x2

w=a(1α)p2x2+p2x2

w(1a)=p2x2

x2=w(1a)p2

Используя эти результаты, мы можем определить оптимальные пакеты потребления и для данной комбинации цены и богатства.х 2x1x2

x1=wap1

x2=w(1a)p2

Jamzy
источник