Условие трансверсальности в неоклассической модели роста

В неоклассической модели роста существует следующее условие трансверсальности:

$$\lim_{t\rightarrow\infty}\beta^{t}u'(c_{t})k_{t+1}= 0,$$ где $k_{t+1}$ - капитал в период $t$ .

Мои вопросы:

1. Как мы получаем это условие?

2. Зачем нам это нужно, если мы хотим исключить пути без накопления долга?

3. Почему множители Лагранжа $\beta^{t}u'(c_{t}) = \beta^{t}\lambda_{t}$ являются текущей дисконтированной стоимостью капитала?

Условие трансверсальности может быть легче понять, если мы начнем с задачи с конечным горизонтом.

В стандартной версии, наша цель состоит в том, чтобы предмет к с . Связанный лагранжиан (с множителями , и ) имеет вид .

$$\max_{\{c_t,k_{t+1}\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T\beta^t u(c_t)$$ $$\begin{aligned} f(k_t)-c_t-k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(resource/budget constraint)}\\ c_t,k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(non-negativity constraint)} \end{aligned}$$ $k_0$$\lambda_t$$\mu_t$$\omega_t$ $$\max_{\{c_t,k_{t+1},\lambda_t,\mu_t,\omega_t\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T \beta^tu(c_t)+\lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})+\mu_tc_t+\omega_tk_{t+1}$$ $$\begin{align} c_t:&& \beta^tu'(c_t)-\lambda_t+\mu_t&=0,\quad t=0,\dots,T \\ k_{t+1}:&& -\lambda_t+\lambda_{t+1}f'(k_{t+1})+\omega_t&=0,\quad t=0,\dots,T-1 \\ k_{T+1}:&& -\lambda_T+\omega_T&=0,\quad T+1 \tag{1} \end{align}$$ с дополнительными условиями расслабления Куна-Такера: для , Поскольку ресурсное ограничение должно быть обязательным во всех периодах, т.е. для всех , из этого следует, что в последний период , , .$t=0,\dots,T$ $$\begin{align} \lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})&=0 & \lambda_t&\ge0 \\ \mu_tc_t&=0 & \mu_t&\ge0\\ \omega_tk_{t+1}&=0&\omega_t&\ge0\tag{2} \end{align}$$ $\lambda_t>0$$t$$T$$\omega_T=\lambda_T>0$$k_{T+1}=0$

Обычно мы принимаем для всех (условие Инады), и это означает, что для всех . Таким образом, FOC потребления становится $c_t>0$$t$$\mu_t=0$$t$

$$\beta^tu'(c_t)=\lambda_t \tag{3}$$

Глядя на условия и в последнем периоде , мы получаем Расширяя это до бесконечного горизонта, мы получаем условие трансверсальности $(1)$ $(2)$$(3)$$T$

$$\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$$ $$\lim_{T\to\infty}\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$$

Интуиция условия трансверсальности отчасти заключается в том, что «в последнем периоде нет сбережений». Но поскольку в среде с бесконечным горизонтом не существует «последнего периода», мы берем предел, когда время уходит в бесконечность.

На мой взгляд, лучший вывод по логике. Подумайте об этом так: если единственное, что мы говорим домашнему хозяйству, - это максимизировать его полезность, то оптимальное поведение будет просто давать бесконечный долг и потреблять бесконечно. Это не разумное решение. Поэтому нам нужно другое условие оптимальности. Это должно ответить на вопрос 2.

В условиях ограниченного горизонта выполнимость будет достигнута путем погашения долга за последний период. Это невозможно в условиях бесконечного горизонта. Однако «исключение накопления долга», как вы предлагаете, является слишком строгим условием (условие трансверсальности допускает задолженность!).

Чтобы ответить на вопрос 3, давайте посмотрим на термин . Это означает (предельную) выгоду от полезности (в текущей стоимости) от сдвига единиц капитала в период t и их потребления. Если бы это увеличение полезности было положительным на бесконечности, мы могли бы увеличить общую полезность, потребляя больше на «бесконечности периода», следовательно, наш путь капитала не был бы оптимальным.$\beta^t \lambda_t k_{t+1}$$k_{t+1}$

На вопрос 1: Чтобы вывести это условие, вы можете либо привести только что приведенный мной логический аргумент, показывающий, что без выполнения условия трансверсальности путь капитала не является оптимальным, либо, для математического доказательства, вы можете проверить, например, За заметки Крузелла (хотя это довольно трудно понять)