Динамическая оптимизация: что если условие второго порядка не выполняется?

Рассмотрим следующую задачу динамической оптимизации

$$\begin{align} &\max_u \int^T_0{F(x,u)dt}\\ \text{s.t.}~& \dot{x} = f(x,u) \end{align}$$

Focs

Гамильтониан задается как

$$\begin{align} H(x,u,\lambda) = F(x,u) + \lambda f(x,u) \end{align}$$ . Необходимые условия для оптимальности задаются максимумом принцип $$\begin{align} \frac{\partial H}{\partial u} &= 0\\[2mm] \frac{\partial H}{\partial x} &= -\dot{\lambda} \end{align}$$

Предположим, что $u^*=\arg\max_u H(x,u,\lambda)$ является максимизатором, т.е. $H_{uu} < 0$ .

SOC

Теорема о достаточности стрелки утверждает, что необходимые условия достаточны, если максимизированный гамильтониан

$$\begin{align} H^0(x,\lambda) = \max_u H(x,u,\lambda) \end{align}$$ является вогнутым в $x$ , т.е. если $H_{xx} < 0$ .

проблема

Предположим, что FOCs удерживаются, но SOC не удерживается.

• Что можно сказать об оптимальности решения?

Нет единого ответа, это будет зависеть от особенностей каждой проблемы. Давайте посмотрим на стандартный пример.

Рассмотрим эталонную проблему межвременной оптимизации для модели Рамсея.

$$\begin{align} &\max_u \int^{\infty}_0{e^{-\rho t}u(c)dt}\\ \\ & \text{s.t.}\;\; \dot{k} = i-\delta k\\ & \text{s.t.}\;\; y = f(k)=c+i \end{align}$$

Текущее значение гамильтониана

$$\tilde H = u(c) +\lambda [f(k)-c-\delta k]$$

Максимизация над в одиночку мы имеем$c$

$$\frac {\partial \tilde H}{\partial c} = u'(c) - \lambda =0 \implies u'(c^*) = \lambda \implies c^* = (u')^{-1}(\lambda)$$

и условие 2-го порядка будет выполнено, если функция полезности вогнута,

$$\frac {\partial^2 H}{\partial c^2} = u''(c^*) < 0$$

Более того, из условия первого порядка относительно потребления, если выполняется локальное ненасыщение. Предположим, что у нас есть такие «обычные» предпочтения.$\lambda >0$

Гамильтониан максимального потребления

$$\tilde H^0 = u[(u')^{-1}(\lambda)]+\lambda [f(k)-(u')^{-1}(\lambda)-\delta k]$$

Частичные производные по переменной состояния, являются$k$

$$\frac {\partial \tilde H^0}{\partial k} = \lambda[f'(k) - \delta], \;\;\;\; \frac {\partial^2 \tilde H^0}{\partial k^2} = \lambda f''(k)$$

Итак, здесь условие достаточности Эрроу-Курца сводится к тому, уменьшается ли предельный продукт капитала, постоянен или увеличивается (что будет зависеть от знака второй производной производственной функции). В стандартном случае и мы имеем достаточное условие.$f''(k) < 0$

В наиболее известном случае отклонения, модель Ромера , положившая начало литературе по эндогенному росту, , а предельный продукт капитала является положительной константой.$AK$$f''(k) =0$

Так что мы можем сказать в этом случае?

Здесь Seierstad, A. & Sydsaeter, K. (1977). Достаточные условия в теории оптимального управления. Международный экономический обзор, 367-391. предоставить различные результаты, которые могут помочь нам.

В частности, они доказывают, что если гамильтониан совместно вогнут в и , это является достаточным условием для максимума. Гессиан гамильтониана$c$$k$

(мы можем игнорировать условия скидки)

$${\rm He}_H = \left [ \begin{matrix} u''(c) & 0\\ 0 & \lambda f''(k)\\ \end{matrix} \right]$$

В стандартном случае с это отрицательно определенная матрица, и поэтому гамильтониан является совместно строго вогнутым в и . $u''(c) <0, \; f''(k) <0$$c$$k$

Когда , проверка того, что матрица отрицательно-полуопределена, проста с использованием определения. Рассмотрим вектор и произведение$f''(k) =0$$\mathbf z = (z_1, z_2)^T \in \mathbb R^2$

$$\mathbf z^T{\rm He}_H\mathbf z = z_1^2u''(c) \leq 0$$

это слабое неравенство имеет место , поэтому гессиан является вогнутым в и .$\forall \mathbf z \in \mathbb R^2$$c$$k$

Таким образом, в модели эндогенного роста решение действительно является максимумом (с учетом ограничений параметров, необходимых для четкой постановки задачи, разумеется).$AK$