Динамическая оптимизация: что если условие второго порядка не выполняется?

9

Рассмотрим следующую задачу динамической оптимизации

maxu0TF(x,u)dts.t. x˙=f(x,u)

Focs

Гамильтониан задается как

H(x,u,λ)=F(x,u)+λf(x,u)
. Необходимые условия для оптимальности задаются максимумом принцип
Hu=0Hx=λ˙

Предположим, что u=argmaxuH(x,u,λ) является максимизатором, т.е. Huu<0 .

SOC

Теорема о достаточности стрелки утверждает, что необходимые условия достаточны, если максимизированный гамильтониан

H0(x,λ)=maxuH(x,u,λ)
является вогнутым в x , т.е. если Hxx<0 .

проблема

Предположим, что FOCs удерживаются, но SOC не удерживается.

  • Что можно сказать об оптимальности решения?
невежественный
источник
1
Выпуклость - это не отсутствие вогнутости.
Майкл Грейнекер
Я убрал не ту часть, надеюсь, ты не против. Ответ таков: немного, попробуйте что-нибудь другое (например, другое условие достаточности или, если вы думаете, что оно выпуклое, покажите, что оно выпуклое).
Всемогущий Боб

Ответы:

5

Нет единого ответа, это будет зависеть от особенностей каждой проблемы. Давайте посмотрим на стандартный пример.

Рассмотрим эталонную проблему межвременной оптимизации для модели Рамсея.

maxu0eρtu(c)dts.t.k˙=iδks.t.y=f(k)=c+i

Текущее значение гамильтониана

H~=u(c)+λ[f(k)cδk]

Максимизация над в одиночку мы имеемc

H~c=u(c)λ=0u(c)=λc=(u)1(λ)

и условие 2-го порядка будет выполнено, если функция полезности вогнута,

2Hc2=u(c)<0

Более того, из условия первого порядка относительно потребления, если выполняется локальное ненасыщение. Предположим, что у нас есть такие «обычные» предпочтения.λ>0

Гамильтониан максимального потребления

H~0=u[(u)1(λ)]+λ[f(k)(u)1(λ)δk]

Частичные производные по переменной состояния, являютсяk

H~0k=λ[f(k)δ],2H~0k2=λf(k)

Итак, здесь условие достаточности Эрроу-Курца сводится к тому, уменьшается ли предельный продукт капитала, постоянен или увеличивается (что будет зависеть от знака второй производной производственной функции). В стандартном случае и мы имеем достаточное условие.f(k)<0

В наиболее известном случае отклонения, модель Ромера , положившая начало литературе по эндогенному росту, , а предельный продукт капитала является положительной константой.AKf(k)=0

Так что мы можем сказать в этом случае?

Здесь Seierstad, A. & Sydsaeter, K. (1977). Достаточные условия в теории оптимального управления. Международный экономический обзор, 367-391. предоставить различные результаты, которые могут помочь нам.

В частности, они доказывают, что если гамильтониан совместно вогнут в и , это является достаточным условием для максимума. Гессиан гамильтонианаck

(мы можем игнорировать условия скидки)

HeH=[u(c)00λf(k)]

В стандартном случае с это отрицательно определенная матрица, и поэтому гамильтониан является совместно строго вогнутым в и . u(c)<0,f(k)<0ck

Когда , проверка того, что матрица отрицательно-полуопределена, проста с использованием определения. Рассмотрим вектор и произведениеf(k)=0z=(z1,z2)TR2

zTHeHz=z12u(c)0

это слабое неравенство имеет место , поэтому гессиан является вогнутым в и .zR2ck

Таким образом, в модели эндогенного роста решение действительно является максимумом (с учетом ограничений параметров, необходимых для четкой постановки задачи, разумеется).AK

Алекос Пападопулос
источник
Спасибо. Тем не менее, я думаю, что я должен уточнить свои мотивы. Я знаю, что гамильтониан не является ни строго вогнутым в , ни совместно вогнутым в . Здесь задает форму гамильтониана, так как ограничен. Это строгая выпуклая функция для малого и любого и строгая вогнутая функция для большого и любого . Мне было интересно, можем ли мы сделать общее утверждение об оптимальности в таком случае. x(x,u)xuxuxu
невежественный
@clueless Это другой (и интересный) вопрос, поэтому лучше задать его в отдельном посте.
Алекос Пападопулос