Леонтьевские предпочтения

Я могу решить большинство задач максимизации полезности, используя свои математические знания ... но не когда дело касается предпочтений Леонтьева. У меня нет книги, на которую можно опереться (я занимаюсь самообучением), поэтому очень хотел бы помочь. Как решить общую проблему максимизации, такую ​​как где M - доход и \ lambda_i - это цена хорошего я ?

$$\max [\alpha x_1, \beta x_2, \gamma x_3] \ \text{subject to } \ \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + \lambda_3 x_3 = M$$ $M$$\lambda_i$$i$

На самом деле, все, что я знаю о дериватах и ​​склонах, полностью исчезает из этой чертовой штуки. Если бы кто-нибудь сказал мне, каковы цены и доход, оптимальный выбор, когда товаров всего несколько, вероятно, можно найти, просто применяя здравый смысл, но как насчет общего случая? Не существует ли общей «формулы», как для функций Кобба Дугласа и CES? Есть ли какой-нибудь метод перехода, который мы используем в этих случаях?

Вам не хватает оператора перед скобкой. Задача максимизации полезности заключается в следующем, Рассмотрим случай двух товаров с полезностью заданный . Что оптимально, что вы знаете об отношениях между и ? Они должны быть равны, то есть Если нет, то предположим без потери общности, что . Какая польза от такого выбора и ? Это должно быть$\min$

$$\max \ \min [\alpha x_1, ..., \gamma x_3] \\ \ \ \text{such that} \ \ \lambda_1x_1 + ... + \lambda_3x_3 = M$$ $u$$u(x) = \min[\alpha x_1, \beta x_2]$$\alpha x_1$$\beta x_2$ $$\alpha x_1 = \beta x_2$$ $\alpha x_1 > \beta x_1$$x_1$$x_2$$\beta x_2$ , что означает, что часть ваших денег тратится на (при условии, что цены строго положительные), но не дает вам никакой дополнительной полезности, и поэтому это не может быть оптимальным выбором потребления.$x_1$

Отсюда следует, что равенство должно выполняться в оптимальном режиме (это также очевидно графически). Наряду с ограничением бюджета, это дает вам два уравнения и два неизвестных, которые могут быть решены для оптимального потребления. Аналогичный подход может быть применен к случаю товаров.$n$

Конечно, выше подразумевается, что мы имеем дело с тривиальной проблемой максимизации полезности, а не целочисленное программирование и тому подобное.