Условие первого заказа для максимизации прибыли в игорной индустрии

13

Я работаю над моделью оптимального процента выплат в игровой индустрии.

Поскольку номинальная цена $ билета-всегда $ 1, мы используем эффективную ценовую стратегию , где Q = $ 1 в выигранных призах. Если игра выплачивает 50%, эффективная цена составляет 2 доллара , так как это то, что нужно потратить, чтобы выиграть ожидаемый 1 доллар в призах. Довольно просто, правда?

Ну, я столкнулся с этой сноской в ​​некоторых исследованиях и не могу понять, как они достигли условия первого порядка для максимизации прибыли из первого уравнения:

«Пусть C(Q) представляет операционные расходы как функцию количественных единиц, где одна количественная единица определяется как один доллар в ожидаемой стоимости призов.

Чистая прибыль лотерейного агентства определяется

N=PQQC(Q)

где P - цена, взимаемая за единицу измерения.

Условие первого порядка для максимизации прибыли можно записать

EPQ=P(1C)/[P(1C)1]

Если предельные операционные расходы составляют процентов от продаж, а коэффициент выплат составляет 50 процентов, мы имеем P = 2 и C = .12 , подразумевая, что эластичность спроса по цене при максимальной прибыли составляет - 2,3 .650P=2C=.122.3

Для увеличения ставки выплаты для увеличения прибыли должно превышать 2,3 по абсолютной величине ».EPQ2.3

- [Цитата] Клотфелтер, Чарльз Т. и Филипп Дж. Кук. «Об экономике государственных лотерей». Журнал экономических перспектив: 105-19.

В уравнении FOC - эластичность спроса по эффективной цене. Обычно это можно найти, взяв производную P по Q в первом уравнении. EPQPQ

Как они оказались там, где сделали? Там должно быть что-то, что я скучаю.

У меня возникают проблемы с пониманием того, как было достигнуто это конкретное Условие Первого Порядка - было ли оно результатом какого-то производного процесса в уравнении чистого дохода, или это просто применяемое внешнее условие.

Благодарность!

datahappy
источник
3
Ура! MathJax работает :-)
LateralFractal

Ответы:

10

Соответствующее выражение содержится в сноске указанной статьи. Читая газету, мы видим , что переменное решение здесь «норма выплаты», которая является обратной P . Таким образом, эквивалентно, мы можем решить задачу максимизации относительно P (а не относительно Q ). Более того, «ценовая эластичность спроса» включает производную Q по P , а не наоборот:11PPQQP

EPQ=dQ/dPQP

и мы ожидаем, что он будет отрицательным (более высокая цена означает более низкую ставку выплат, что приводит к меньшему спросу на количественную меру здесь, т.е. к меньшему «спросу на призы»).

maxPN=maxP[PQ(P)Q(P)C(Q(P))]

Условие первого порядка

(1)NP=Q+PQQCQ=0

Умножьте на :P/Q

QPQ+PQPQQPQCQPQ=0

P+PEPQEPQCEPQ=0

(2)EPQ=PP1C

Это имеет смысл. Подставляя значения, представленные в ссылке, мы имеем

EPQ=221.12=20.882.27

что очень близко к значению, полученному из уравнения, представленного авторами. Я не смог, какими бы алгебраическими манипуляциями я ни пытался, воспроизвести их формулу, но в любом случае eq верен. Если примирение придет, я буду обновлять.(2)

Алекос Пападопулос
источник
1
Фантастический. Вот где я и оказался. Извиняюсь за то, что не включил мою предыдущую работу в вопрос (я должен буду помнить, чтобы сделать это).
datahappy
Я написал авторам статьи по электронной почте - если они ответят в любой момент, я добавлю их аргументацию в качестве другого ответа ... Я буду ждать, чтобы отметить вас как ответ, чтобы дать другим людям время ответить, так как мы находимся в бета-версии. :)
datahappy
3
Конечно, вам следует подождать. Мы хотим более одного ответа на вопрос!
Алекос Пападопулос