Взаимосвязь между расходной функцией и многими другими!

Я не понимаю взаимосвязи между хиксовым спросом, вальрасианским спросом (маршаллианом), функцией расходов и косвенной функцией полезности (включая функцию стоимости V (b)). Я нашел этот предмет очень трудным и не могу понять, как они связаны друг с другом из-за формальности, которая используется в книгах, которые у меня есть!

Я понимаю, как вывести косвенную полезность, однако мне должно быть удобно показать, как я могу использовать ее для получения функции расходов и остального, и как они различаются по двойственности!

Вслед за превосходной диаграммой MWG в ответе Амстелла, необходимо фундаментальное наблюдение: удержание фиксированным, и являются обратными друг другу . сообщает нам сумму, которую мы должны потратить, чтобы получить определенную сумму полезности , а сообщает нам максимальную сумму полезности, которую мы можем получить от определенных расходов . Всякий раз, когда мы хотим перейти от полезности к богатству, мы используем ; и всякий раз, когда мы хотим преобразовать из богатства в полезность, мы используем .е V е у v ш е $p$$e$$v$$e$$u$$v$$w$$e$$v$

Все ключевые идентичности могут быть получены из этого наблюдения. Например, предположим, что мы хотим получить тождество для . Мы уже знаем соответствующий тождество для функции расходов: . Чтобы превратить это в тождество для , подставим , получив , и дифференцирование по . Правило цепочки подразумевает ∂ e ( p , u ) / ∂ p i = h i ( p , u ) v w = e ( p , u ) v ( p , e ( p , u ) ) = u p i ∂ v ( p , e $\partial v(p,w)/\partial p_i$$\partial e(p,u)/\partial p_i=h_i(p,u)$$v$$w=e(p,u)$$v(p,e(p,u))=u$$p_i$-∂v/∂

$$\frac{\partial v(p,e(p,u))}{\partial p_i} + \frac{\partial v(p,e(p,u))}{\partial w}\cdot\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} =0\\ \Longleftrightarrow \frac{\partial v(p,w)}{\partial p_i} = -\frac{\partial v(p,w)}{\partial w}\cdot x_i(p,w)$$ который, если мы разделим на с обеих сторон, становится тождеством Роя.$-\partial v/\partial w$

Или предположим, что мы хотим вывести уравнение Слуцкого, которое дает связь между производными спроса Маршалла и Хикса (разложение изменения спроса Маршалла на эффекты замещения и дохода). Аналогично вышесказанному, мы можем подставить в маршалловское требование чтобы получить . Затем дифференцирование по с обеих сторон и применение правила цепочки дает x ( p , w ) x ( p , e ( p , u ) ) = h ( p , u ) p i ∂ x ( p , e ( p , u ) $w=e(p,u)$$x(p,w)$$x(p,e(p,u))=h(p,u)$$p_i$wuveλw

$$\frac{\partial x(p,e(p,u))}{\partial p_i} + \frac{\partial x(p,e(p,u))}{\partial w}\cdot \frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} = \frac{\partial h(p,u)}{\partial p_i}\\ \Longleftrightarrow \frac{\partial x(p,w)}{\partial p_i}=\frac{\partial h(p,u)}{\partial p_i} - \frac{\partial x(p,w)}{\partial w}\cdot x_i(p,w)$$ В общем, Я думаю, что эвристическое «переключение между и мере необходимости с использованием и » позволяет вам получить почти все здесь. (Аналогичная эвристический также полезно , если вы когда - либо иметь дело с системами спроса Фриш, где предельная полезность играет ту же роль , что , и делать в Маршалловских и системах спроса.)$w$$u$$v$$e$$\lambda$$w$$u$

---

Конечно, есть еще один ключевой факт, использованный выше, который является , который для становится . Вместо этого лучше всего рассматривать это как прямое следствие теоремы о почтенной оболочке .w = e ( p , u ) ∂ e ( p , u ) / ∂ p i = x i ( p , w $\partial e(p,u)/\partial p_i = h_i(p,u)$$w=e(p,u)$$\partial e(p,u)/\partial p_i = x_i(p,w)$

( также может быть получен из немного более продвинутой версии теоремы об огибающей, где ограничения, а также цель могут зависеть от параметра. Поскольку изменение в задаче максимизации полезности меняет ограничение бюджета а не цель , теорема об огибающей говорит, что ее влияние будет зависеть от множителя Лагранжа от этого ограничения, которое является предельной полезностью богатства. Это хорошая интуиция, почему выражение для является более сложным, чем выражение для , подбирая дополнительный фактор.)p i ∂ v / ∂ w ∂ v / ∂ p i ∂ e / ∂ p $\partial v/\partial p_i$$p_i$$\partial v/\partial w$$\partial v/\partial p_i$$\partial e/\partial p_i$

Не уверен, насколько это поможет, но диаграмма в Mas-Colell p.75 - это то, что я всегда имел в виду при выводе этих функций. Я не уверен, какие книги вы используете, но Микроэкономика Mas-Colell et al. это ресурс для выпускников. Но я предпочитаю микроэкономический анализ по Вариану. Намного легче читать и все еще имеет важный контент, необходимый для работы на уровне выпускника. Из моего опыта, получение как можно большего количества вальрасианских требований и просто работа над процессом - вот что заставило меня чувствовать себя комфортно. Если вы ищете примеры, я могу применить некоторые формулы, чтобы показать вам, как это работает, но вы, похоже, это понимаете. У меня также есть страницы и страницы с практическими проблемами, если вам нужен еще один ресурс. Надеюсь это поможет :)

Обновление: Вот несколько практических проблем из некоторых моих наборов проблем. Осторожнее с последним. наслаждаться

Если возможно, вычислите Hicksian, Walrasian, Expenditure и Indirect для каждого из следующего:

1. $e(p,u) = (p_{1} + p_{2})u$

2. $e(p,u) = p_{1} +p_{2} + up_{1}$

3. $h(p,u) = ( \frac{up_{2}}{p_{1}} , \frac{up_{1}}{p_{2}})$

4. $x(p,w) = ( \frac{w}{p_{1}} , \frac{w}{p_{2}} )$

Редактировать ; Обновление, чтобы объяснить # 4

4. $x(p,w) = ( \frac{w}{p_{1}} , \frac{w}{p_{2}} )$

На первый взгляд вы можете видеть, что все богатство используется для каждого спроса , что невозможно из-за ограничения дохода$(x_{1}, x_{2})$

$p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2} = w$ .

Одним из свойств Вальрасиана является то, что имеет место закон Вальраса.

Закон Вальраса:$px = w$

Простой способ показать, что Закон Вальраса не имеет места, состоит в том, чтобы просто включить требования ограничения дохода.

$p_{1} ( \frac{w}{p_{1}}) + p_{2} ( \frac{w}{p_{2}}) = w$

$2w \neq w$ ; поэтому закон Вальраса не имеет места, и это не требование вальрасиана.