Однородный степени 1 по полезности.

Вопрос

Мое решение заключается в следующем. Пожалуйста, проверьте мое решение. Если я сделаю ошибку, пожалуйста, сообщите. Я действительно не уверен в своем решении. Спасибо

U (x) однородна первой степени, т.е. u (tx) = tu (x)

Сначала я покажу, что косвенная функция полезности однородна степени один по m.

По максимизации полезности,

V (p, m) = max u (x) при условии px $\le$ m

tv (p, m) = max tu (x) с учетом px $\le$ m

Поскольку u (tx) = tu (x), tv (p, m) = max u (tx) с учетом px $\le$ m

Тогда v (p, tm) = tv (p, m)

То есть косвенная функция полезности однородна первой степени.

Я показываю, что функция расходов однородна по степени один в вас, используя предыдущий результат.

я знаю это

v (p, m) = v (p, e (p, u)) = u (x)

Поскольку u (x) однородна степени первой, а v (p, m) однородна степени первой по m, v (p, e (p, u)) должны быть однородны степени первой по e (p, u) ,

Другими словами, v (p, e (p, u (tx))) = v (p, e (p, tu (x))) = tv (p, e (p, u)) выполняется тогда и только тогда, когда e (p , тот (х)) = тот (р, и (х))

Т.е. дорогая функция e (p, u) однородна степени 1 по u.

---

Теперь я покажу, что маршалловское требование x (p, m) однородно степени один в m.

По личности Роя,

$$\frac{\partial v(p,m)/\partial p}{\partial v(p,m)/\partial m}=x(p,m)$$

По первому результату, поскольку v (p, m) однородна степени один по m, то x (p, m) однородна степени один по m.

Теперь давайте покажем, что спрос на хиксиан однороден по степени один в вас.

я знаю это

x (p, m) = x (p, e (p, u)) = h (p, u) ........ (1)

х (р, тм) = Тх (р, т) = Тх (р, е (р, и)) = х (р, т е (р, и))

Так как е (р, и) однородна степени один по второй части,

х (р, т е (р, и)) = х (р, е (р, и (ТХ)) = Н (р, и (ТХ)) = Н (р, ту (х)) = е (р, u (x)) должно выполняться, поскольку равенство (1) существует.

То есть требование хиксиана однородно первой степени в вас.

$v(p,m)$$m$$e(p,u)$$u$

$$v(p,e(p,u))=u,$$ $u$$u(x)$

$v(p,m)$$m$

$$v(p,m)=mv(p,1)=m\tilde v(p).$$ $v(p,e(p,u))=u$ $$e(p,u)=\frac{u}{\tilde v(p)},$$ $e(p,u)$$u$

$$\begin{align*} e(p,\lambda u)&= \min p\cdot x ~~\text{ s.t. } u(x)\geq \lambda u\\ &=\lambda\min p\cdot\frac{1}{\lambda}x ~~\text{ s.t. }\frac{1}{\lambda}u(x)\geq u\\ &=\cdots \end{align*}$$