Когда можно смело говорить о снижении предельной полезности?

Одна вещь, которую я часто слышу, это разговоры о снижении предельной полезности - идея состоит в том, что дополнительные единицы товара становятся все менее привлекательными, чем больше единиц этого товара уже есть.

Тем не менее, это всегда делало меня немного неудобным из-за обычной полезности. Если мы возьмем тривиальный случай мира, в котором есть только один товар с полезностью удовлетворяющий (убывающая предельная полезность), тогда очевидно, что можно построить возрастающая функция f такая, что (f \ circ u) линейна по x . Более того, поскольку функции полезности инвариантны к монотонно возрастающим преобразованиям, (f \ circ u) - это функция полезности, которая представляет те же предпочтения, что и u (но теперь имеет постоянную предельную полезность). Таким образом, в мире с одним благом кажется, что никогда не имеет смысла говорить об уменьшении предельной полезности.$u(x)$$u'(x),\ u''(x)<0$$f$$(f\circ u)$$x$$(f\circ u)$$u$

Мой вопрос таков: рассмотрим рынок с $L>1$ товаром. Есть ли формальное условие, при котором мы можем спокойно говорить о снижении предельной полезности? То есть существует ли класс предпочтений, такой, что каждое допустимое служебное представление $u(\mathbf{x})$ имеет $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ для некоторого $i$ ?

В качестве альтернативы, есть ли простое доказательство того, что для $L>1$ существование представления полезности с $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ для некоторого $i$ обязательно подразумевает, что все представления полезности имеют $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ ?

Понятие «предельная полезность» (и, следовательно, уменьшение такового) имеет значение только в контексте кардинальной полезности.

Предположим, у нас есть порядковый индекс полезности для одного товара и три количества этого товара, , с . Предпочтения хорошо ведут себя и удовлетворяют стандартным условиям регулярности, поэтому$u()$$q_1<q_2<q_3$$q_2-q_1 = q_3-q_2$

Это обычная полезность. Значит только рейтинг, а не расстояния. Таким образом, расстояния и имеют поведенческой / экономической интерпретации . Если они этого не делают, то и отношения$u(q_2) - u(q_1)$$u(q_3) - u(q_2)$

Но пределы этих отношений, когда знаменатель стремится к нулю, будут определением производной функции . Таким образом, производная лишена экономической / поведенческой интерпретации, и поэтому сравнение двух экземпляров производной функции не даст никакого значимого содержания. $u()$

Конечно, это не означает, что производные от не существуют как математические понятия. Они могут существовать, если удовлетворяет условиям, необходимым для дифференцируемости. Таким образом, можно задать чисто математический вопрос «при каких условиях функция, представляющая порядковую полезность, имеет строго отрицательную вторую производную » (или отрицательно определенный гессиан для многомерного случая), пытаясь не интерпретировать ее как «убывающую предельную полезность» с экономическим / поведенческим содержанием , но как математическое свойство, которое может играть определенную роль в модели, которую он исследует. $u()$$u()$

В таком случае мы знаем, что:
1) если предпочтения выпуклые, индекс полезности является квазивогнутой функцией
2) если предпочтения являются строго выпуклыми, индекс полезности является строго квазивогнутым

Но квазивогнутость - это другой тип свойства, нежели вогнутость: квазивогнутость является «порядковым» свойством в том смысле, что оно сохраняется при возрастающем преобразовании функции.

С другой стороны, вогнутость является «кардинальным» свойством в том смысле, что она не обязательно будет сохраняться при возрастающей трансформации.
Рассмотрим , что это означает: предположим , что мы находим характеристику предпочтений , таких , что они могут быть представлены в индексе полезности , которая является вогнутой в виде функции. Затем мы можем найти и реализовать некоторую возрастающую трансформацию этого служебного индекса, которая устранит свойство вогнутости.

Тот факт, что вы спрашиваете о «безопасности», подразумевает, что вы считаете, что какой-то результат находится под угрозой. Этот ответ может быть улучшен, если вы можете указать результат, который вы могли иметь в виду. В противном случае возьмем в качестве примера первую и вторую теоремы благосостояния. Они не полагаются на снижение предельной полезности.

Если вас беспокоят результаты о предпочтениях над неопределенностью (идеи об избежании риска и т. Д.), То помните, что хотя стандартное представление функций полезности без неопределенности является уникальным вплоть до положительного монотонного преобразования, представление функций полезности фон Неймана-Моргенштерна предпочтений над неопределенностью уникален только до положительных аффинных преобразований.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Дополнительные заметки.

Определение функции полезности дается следующим образом (из Продвинутой микроэкономической теории Jehle and Reny, 2011):