Можно ли вывести кривые безразличия по маршалловской функции спроса?

10

В двух хороших мирах будет ли маршаллианский спрос функционировать подобно тому, D(p,m)где p - цена одного блага, а m - доход - функция полезности или функция кривой безразличия? Если так, то как можно решить эту проблему?

Говард Блэк
источник

Ответы:

11

Да, при некоторых условиях. Это классическая проблема интегрируемости : подробное обсуждение см. В некоторых замечательных заметках Ким Бордер .

Требуется несколько других технических условий, но наиболее экономически существенным условием является то, что матрица Слуцкого всегда должна быть симметричной и отрицательной полуопределенной. , если мы определим й элемент матрицы Слуцкого в как тогда мы должны иметь для всех , а также для любого вектора , мы должны иметь для всех необходимостиij(p,m)

σij(p,m)=Di(p,m)pj+Dj(p,m)Di(p,m)m
σij(p,m)=σji(p,m)(p,m)v(p,m)
ijσij(p,m)vivj0
из этих условий непосредственно следует из базовой теории потребителей, которая показывает, что если спрос Маршалла получается из ограниченного максимизации функции полезности, то матрица Слуцкого является симметричной и отрицательной полуопределенной. Но достаточность этих условий (в сочетании с некоторыми другими техническими допущениями) для нас, чтобы отказаться от функции полезности, является более сложным вопросом, и чтобы получить подробности, я рекомендую заметки Бордера или какой-то другой продвинутый микроисточник.

Если, предполагая, что условия Слуцкого выполнены , вы хотите грубым практическим способом (игнорируя технические тонкости) отменить кривые безразличия в типичном случае с двумя хорошими случаями, самый простой способ, вероятно, состоит в том, чтобы использовать ваши знания спроса для определения компенсирующего изменения в расходах, которые необходимо скорректировать для данного изменения цен. В частности, для используйте тождество которое, учитывая знание функции спроса по Маршаллу , является дифференциальным уравнением в функции расходов . Начиная с некоторых начальных значений которые выдают неизвестную утилитуi=1,2

e(p,u)pi=hi(p,u)=Di(p,e(p,u))
De(p¯,m¯)u¯мы знаем, что . Затем, изменяя , мы можем интегрировать приведенное выше дифференциальное уравнение для чтобы получить для любого . И тогда мы можем получить вектор спроса Хикса для любого .e(p¯,u¯)=m¯p1i=1e(p1,p¯2,u¯)p1
h(p1,p¯2,u¯)=D(p1,p¯2,e(p1,p¯2,u¯))
p1

Поскольку все эти требования Хиксиана соответствуют одной и той же утилите , они находятся на одной кривой безразличия. Изменяя , мы сможем отследить много разных точек на этой кривой безразличия. На самом деле, если спрос достаточно хорошо себя ведет, мы можем проследить всю кривую безразличия, достаточно меняя в любом направлении. (Между прочим, «отслеживание кривых безразличия» - это все, что мы можем сделать в любом случае: поскольку мощность полезности не имеет отношения к требованию Маршалла, мы можем получить только порядковые свойства, такие как кривые безразличия и их упорядочение.)u¯p1p1

номинально жесткий
источник