Дифференциация функции стоимости в Бурдетт Мортенсен (1998)

8

В настоящее время я пробираюсь через классическую статью Бурдета и Мортенсена о поиске работы. То, что должно быть легкой задачей поиска выражения для резервирования заработной платы, немного усложняется присутствием оператора max. Перед нами следующее уравнение Беллмана для стоимости работы, выплачивающей заработную платуw, Уравнения Беллмана являются стандартными. Ценность оплачиваемой работыw состоит из заработной платы w плюс ожидаемая выгода от поиска и поиска лучшей работы, обесцененная вероятностью, что предложение о работе приходит вместе λ1 плюс потеря из-за безработицы, когда работа разрушается со скоростью δ, Значение безработицыV0 состоит из пособия по безработице b плюс ожидаемая выгода от трудоустройства со скидкой на вероятность того, что предложение придет λ0, Обратите внимание, что вероятность того, что предложение сделано, различается в зависимости от того, занят ли кто-либо уже или безработный. Распределение предложений даетсяF

rV1(w)=w+λ1[max{V1(w),V1(x~)}V1(w)]dF(x~)+δ[V0V1(w)]
rV0=b+λ0[max{V0,V1(x~)}dF(x~)V0]
поскольку V1(w) увеличивается в w а также V0 Независимо от этого, мы знаем, что резервная заработная плата существует так, что если w>RV1(w)>V0, w<RV1(w)<V0 а также V1(R)=V0, Стандартные аргументы (интеграция по частям) показывают, что
Rb=(λ0λ1)RV1(x~)[1F(x~)]dx~
отсюда я хотел бы взять производную первого уравнения и решить для V1(w), Однако, если я использую правило интеграции Лейбница, мне нужно, чтобы интеграл был дифференцируемым. Максимум двух непрерывных функций обычно не дифференцируем, где они равны, поэтому у меня есть проблема. Если я предполагаю, что я интегрирую по всемx~w тогда V1(x~)V1(w)(предложения заработной платы, которые побудят работника сменить место работы), и результат следует по правилу Лейбница. Но в распределении есть заработная плата, которая не будет принята, и эта производная не сохранится. Производная
V(x~)=1r+δ+λ1(1F(x~))
Я полагаю, что что-то упустил, но я не уверен, что. Если бы кто-нибудь мог дать мне какой-либо совет, я был бы очень признателен.
отметка
источник

Ответы:

2

Когда вы берете интеграл max{} оператор, я думаю, вы должны разделить интеграл на два отдельных интеграла с различными опорами на них.

Даже если ваша функция значения сложна и не имеет дифференцируемости, вам необходима непрерывность только для существования решения для решения проблемы оптимизации.

Кицунэ кавалерия
источник
0

Вот моя попытка, где я предполагаю абсолютный верхний предел поддержки F, F(w¯)=1, для простоты.

Перепишите первое уравнение как

rV1(w)=w+λ1ww¯V1(x~)dF(x~)+λ10wV1(w)dF(x~)Iλ10w¯V1(w)dF(x~)+δ[V0V1(w)] ,
согласно которому
λ10w¯V1(w)dF(x~)=λ1ww¯V1(w)dF(x~)λ10wV1(w)dF(x~)II .

Условия I а также II отменить, так что расположение дает

(δ+r)V1(w)=w+λ1ww¯[V1(x~)V1(w)]dF(x~)+δV0 .
Если мы применяем правило Лейбница знать, мы получаем
(δ+r)V1(w)=1λ1ww¯V1(w)dF(x~)=1λ1V1(w)[1F(w)] ,
откуда последнее равенство следует из F(w¯)=1, Решение дляV1(w) дает желаемое решение.
daniel_EDI
источник