Дифференциация функции стоимости в Бурдетт Мортенсен (1998)

В настоящее время я пробираюсь через классическую статью Бурдета и Мортенсена о поиске работы. То, что должно быть легкой задачей поиска выражения для резервирования заработной платы, немного усложняется присутствием оператора max. Перед нами следующее уравнение Беллмана для стоимости работы, выплачивающей заработную плату$w$, Уравнения Беллмана являются стандартными. Ценность оплачиваемой работы$w$ состоит из заработной платы $w$ плюс ожидаемая выгода от поиска и поиска лучшей работы, обесцененная вероятностью, что предложение о работе приходит вместе $\lambda_1$ плюс потеря из-за безработицы, когда работа разрушается со скоростью $\delta$, Значение безработицы$V_0$ состоит из пособия по безработице $b$ плюс ожидаемая выгода от трудоустройства со скидкой на вероятность того, что предложение придет $\lambda_0$, Обратите внимание, что вероятность того, что предложение сделано, различается в зависимости от того, занят ли кто-либо уже или безработный. Распределение предложений дается$F$

$$\begin{equation} rV_1(w)=w+\lambda_1\bigg[\int \max\{V_1(w),V_1(\tilde{x})\}-V_1(w)\bigg]\;dF(\tilde{x})+\delta [V_0-V_1(w)] \end{equation}$$ $$\begin{equation}rV_0=b+\lambda_0 \bigg[\int \max\{V_0,V_1(\tilde{x})\}\;dF(\tilde{x})-V_0\bigg]\end{equation}$$ поскольку $V_1(w)$ увеличивается в $w$ а также $V_0$ Независимо от этого, мы знаем, что резервная заработная плата существует так, что если $w>R\implies V_1(w)>V_0$, $w<R\implies V_1(w)<V_0$ а также $V_1(R)=V_0$, Стандартные аргументы (интеграция по частям) показывают, что $$\begin{equation} R-b=(\lambda_0-\lambda_1)\int_R^\infty V_1'(\tilde{x})[1-F(\tilde{x})]\;d\tilde{x} \end{equation}$$ отсюда я хотел бы взять производную первого уравнения и решить для $V_1'(w)$, Однако, если я использую правило интеграции Лейбница, мне нужно, чтобы интеграл был дифференцируемым. Максимум двух непрерывных функций обычно не дифференцируем, где они равны, поэтому у меня есть проблема. Если я предполагаю, что я интегрирую по всем$\tilde{x}\geq w$ тогда $V_1(\tilde{x})\geq V_1(w)$(предложения заработной платы, которые побудят работника сменить место работы), и результат следует по правилу Лейбница. Но в распределении есть заработная плата, которая не будет принята, и эта производная не сохранится. Производная $$\begin{equation} V'(\tilde{x})=\frac{1}{r+\delta+\lambda_1(1-F(\tilde{x}))} \end{equation}$$ Я полагаю, что что-то упустил, но я не уверен, что. Если бы кто-нибудь мог дать мне какой-либо совет, я был бы очень признателен.

Когда вы берете интеграл $\max_{\{\cdot\}}$ оператор, я думаю, вы должны разделить интеграл на два отдельных интеграла с различными опорами на них.

Даже если ваша функция значения сложна и не имеет дифференцируемости, вам необходима непрерывность только для существования решения для решения проблемы оптимизации.

Вот моя попытка, где я предполагаю абсолютный верхний предел поддержки $F$, $F(\overline{w})=1$, для простоты.

Перепишите первое уравнение как

$$\begin{equation} rV_1(w)= w+\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1(\tilde{x})dF(\tilde{x}) +\underbrace{\lambda_1\int_0^{w}V_1(w)dF(\tilde{x})}_{I} -\lambda_1\int_0^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x}) +\delta[V_0-V_1(w)] \ , \end{equation}$$ согласно которому $$\begin{equation} -\lambda_1\int_0^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x})= -\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x}) -\underbrace{\lambda_1\int_0^{w}V_1(w)dF(\tilde{x})}_{II} \ . \end{equation}$$

Условия $I$ а также $II$ отменить, так что расположение дает

$$\begin{equation} (\delta +r)V_1(w)= w+\lambda_1\int_w^{\overline{w}}[V_1(\tilde{x})-V_1(w)]dF(\tilde{x}) +\delta V_0 \ . \end{equation}$$ Если мы применяем правило Лейбница знать, мы получаем $$\begin{equation} (\delta +r)V_1'(w)= 1-\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1'(w)dF(\tilde{x})=1-\lambda_1V_1'(w)[1-F(w)] \ , \end{equation}$$ откуда последнее равенство следует из $F(\overline{w})=1$, Решение для$V_1'(w)$ дает желаемое решение.