Распределение вероятностей функций случайных величин?

10

У меня есть сомнение: рассмотрим вещественные случайные величины и определенные в пространстве вероятностей .XZ(Ω,F,P)

Пусть , где - вещественная функция. Поскольку является функцией случайных величин, это случайная величина.Y:=g(X,Z)g()Y

Пусть , т.е. реализацию .x:=X(ω)X

Является ли равным ?P(Y|X=x)=P(g(X,Z)|X=x)P(g(x,Z))

user3285148
источник
2
Поскольку ваша система обозначений , а сокращенно, может быть , стоит отметить, что она неявно относится к некоторым борелевского A , с учетом универсального квантора, и что более полный рендеринг вашего вопроса поэтому будет ли это тот случай, когда
A P(YA|X=x)=P(g(X,Z)A|X=x)=P(g(x,Z)A).
whuber
@whuber: ваше последнее равенство действительно только в том случае, если X и Z независимы.
Дзен
1
Хорошо, вы просто думаете, "так ли это ...".
Дзен

Ответы:

6

Если измеримо, то P ( g ( X , Z ) A X = x ) = P ( g ( x , Z ) A X = x ) ,g выполняется для P X -aa x . В частности, если Z не зависит от X , то P ( g ( X , Z ) A X = x ) = P ( g ( x , Z ) A ) ,

P(g(X,Z)AX=x)=P(g(x,Z)AX=x),AB(R)
PXxZX выполняется для P X -aa x .
P(g(X,Z)AX=x)=P(g(x,Z)A),AB(R)
PXИкс

Это зависит от следующего общего результата:

Если и S являются случайными величинами и Р S ( | Т = т ) обозначает регулярную условную вероятность S заданной Т = т , то есть P S ( A | T = T ) = P ( S | Т = t ) , то E [ U T = t ] = U,TSпS(|Tзнак равноT)STзнак равноTпS(A|Tзнак равноT)знак равноп(SA|Tзнак равноT)

(*)Е[U|Tзнак равноT]знак равнорЕ[U|Tзнак равноT,Sзнак равноs]пS(ds|Tзнак равноT),

Доказательство : определение регулярной условной вероятности гарантирует, что

Е[ψ(S,T)]знак равноррψ(s,T)пS(ds|Tзнак равноT)пT(dT)
ψψ(s,T)знак равно1В(T)Е[U|Sзнак равноs,Tзнак равноT]В
T-1(В)Udпзнак равноЕ[1В(T)U]знак равноЕ[1В(T)Е[U|S,T]]знак равноЕ[ψ(S,T)]знак равноррψ(s,T)пS(ds|Tзнак равноT)пT(dT)знак равноВφ(T)пT(dT)
φ(T)знак равнорЕ[U|Tзнак равноT,Sзнак равноs]пS(ds|Tзнак равноT),
Вφ(T)знак равноЕ[U|Tзнак равноT]

AВ(р)(*)Uзнак равноψ(Икс,Z)ψ(Икс,Z)знак равно1г-1(A)(Икс,Z)Sзнак равноZTзнак равноИкс

Е[U|Иксзнак равноИкс,Zзнак равноZ]знак равноЕ[ψ(Икс,Y)|Иксзнак равноИкс,Zзнак равноZ]знак равноψ(Икс,Z)
(*)
п(г(Икс,Z)A|Иксзнак равноИкс)знак равноЕ[U|Иксзнак равноИкс]знак равнорψ(Икс,Z)пZ(dZ|Иксзнак равноИкс)знак равноп(г(Икс,Z)A|Иксзнак равноИкс),
Стефан Хансен
источник