Существует ли теорема, в которой говорится, что сходится по распределению к нормали, когда стремится к бесконечности?

10

Пусть будет любым распределением с определенным средним значением и стандартным отклонением . Центральная предельная теорема говорит, что сходится по распределению к стандартному нормальному распределению. Если мы заменим типовым стандартным отклонением , существует ли теорема о том, что сходится по распределению к t-распределению? Так как для большихXμσ

nX¯μσ
σS
nX¯μS
nt-распределение приближается к нормальному, теорема, если она существует, может утверждать, что предел является стандартным нормальным распределением. Следовательно, мне кажется, что t-распределения не очень полезны - что они полезны только тогда, когда является примерно нормальным. Это тот случай? X

Если это возможно, укажите ли вы ссылки, содержащие доказательство этого CLT, когда заменяется на ? Такая ссылка предпочтительно может использовать концепции теории меры. Но все было бы здорово для меня на этом этапе.σS

Эсп Фло
источник
7
Применение теоремы Слуцкого, варианты которого иногда называют леммой о сходящихся вместе , показывает, что предел стандартно нормален.
кардинал

Ответы:

17

Чтобы уточнить комментарий @cardinal, рассмотрим iid-образец размера из случайной величины с некоторым распределением и конечными моментами, средним значением и стандартным отклонением . Определить случайную величинуnXμσ

Zn=n(X¯nμ)
Основная центральная предельная теорема гласит, что
ZndZN(0,σ2)

Рассмотрим теперь случайную величину , где является выборочное стандартное отклонение .Yn=1SnSnX

Выборка iid, поэтому выборочные моменты последовательно оценивают моменты населения. Так

Ynp1σ

Введите @cardinal: теорема Слуцкого (или лемма) говорит, среди прочего, что где - константа , Это наш случай так

{ZndZ,Ynpc}ZnYndcZ
c

ZnYn=nXn¯μSnd1σZN(0,1)

Что касается полезности распределения Стьюдента, я только отмечаю, что в его «традиционных применениях», связанных со статистическими тестами, он все еще необходим, когда размеры выборки действительно малы (и мы все еще сталкиваемся с такими случаями), но также и то, что он имеет широко применялись к модельным авторегрессионным рядам с (условной) гетероскедастичностью, особенно в контексте эконометрики финансов, где такие данные возникают часто.

Алекос Пападопулос
источник
+1, всегда приятно видеть, когда ответы на теоретические вопросы связаны с их полезностью на практике
Энди
@ И я согласен, это идеал.
Алекос Пападопулос