Связь между пуассоном и экспоненциальным распределением

72

Время ожидания для распределения Пуассона является экспоненциальным распределением с параметром лямбда. Но я этого не понимаю. Например, Пуассон моделирует количество прибывших за единицу времени. Как это связано с экспоненциальным распределением? Допустим, вероятность k прибытий в единицу времени равна P (k) (смоделирована по Пуассону), а вероятность k + 1 равна P (k + 1), как экспоненциальное распределение моделирует время ожидания между ними?

user862
источник
3
Распределение Пуассона не имеет времени ожидания. Это свойство пуассоновского процесса.
Glen_b
Также см. Здесь лучшее объяснение различия между этими двумя распределениями.
Бельтер

Ответы:

73

Я буду использовать следующие обозначения, чтобы быть как можно более согласованными с вики (на тот случай, если вы захотите перейти между моим ответом и вики-определениями пуассона и экспоненты ).

Ntt

Xtt

По определению следующие условия эквивалентны:

(Xt>x)(Nt=Nt+x)

[t,t+x]t+xt

По правилу дополнения мы также имеем:

P(Xtx)=1P(Xt>x)

Используя эквивалентность двух событий, которые мы описали выше, мы можем переписать вышеупомянутое как:

P(Xtx)=1P(Nt+xNt=0)

Но,

P(Nt+xNt=0)=P(Nx=0)

λx

P(Nt+xNt=0)=(λx)00!eλx

т.е.

P(Nt+xNt=0)=eλx

Подставляя в нашем исходном уравнении, мы имеем:

P(Xtx)=1eλx

Выше - cdf экспоненциального pdf.

мотылек
источник
7
Хорошо, это проясняет. Экспоненциальный pdf может использоваться для моделирования времени ожидания между любыми двумя последовательными попаданиями Пуассона, в то время как пуассон моделирует вероятность числа попаданий. Пуассон дискретен, а экспонента - непрерывное распределение. Было бы интересно увидеть пример из реальной жизни, когда эти двое вступают в игру одновременно.
user862
1
t
2
Обратите внимание, что распределение Пуассона не подразумевает экспоненциальный pdf для времени ожидания между событиями. Это относится только к ситуациям, в которых вы знаете, что пуассоновский процесс работает. Но вам нужно доказать существование распределения Пуассона И существование экспоненциального pdf, чтобы показать, что пуассоновский процесс является подходящей моделью!
Ян Роткегель
@CodyBugstein Оба: они взаимозаменяемы в этом контексте. Прибытие не зависит друг от друга, а это означает, что не имеет значения, каково смещение времени. Период от времени 0до времени tэквивалентен любому временному периоду длины t.
Чиль тен Бринке
@ user862: Это точно аналогично связи между частотой и длиной волны. Большая длина волны; более низкая частота аналогична: более длительное время ожидания; меньше ожидаемых прибытий.
DWin
38

λ

L

P(L>t)=P(no hits in time t)=Λ0eΛ0!=eλtΛ=λt

P(Lt)=1eλt

f(t)={λeλtfor t00for t<0

Любая случайная величина, которая имеет такую ​​функцию плотности, называется экспоненциально распределенной.

Джордж Донтас
источник
2
P(L>t)=P
1
λtλt
5

Другие ответы хорошо объясняют математику. Я думаю, что это помогает рассмотреть физический пример. Когда я думаю о пуассоновском процессе, я всегда возвращаюсь к мысли о проезде автомобилей по дороге. Лямбда - это среднее количество автомобилей, которые проезжают за единицу времени, скажем, 60 / час (лямбда = 60). Однако мы знаем, что фактическое число будет варьироваться - несколько дней больше, а иногда меньше. Распределение Пуассона позволяет нам моделировать эту изменчивость.

Теперь в среднем 60 автомобилей в час равняется в среднем 1 автомобилю, проезжающему каждую минуту. Опять же, мы знаем, что время между прибытиями будет изменчивым: иногда более 1 минуты; в остальное время меньше. Экспоненциальное распределение позволяет нам моделировать эту изменчивость.

При этом автомобили, проезжающие по дороге, не всегда будут следовать пуассоновскому процессу. Например, если за углом есть сигнал светофора, прибытие будет группироваться, а не постоянно. На открытой трассе медленный тягач может задержать длинную очередь машин, что опять же приведет к группированию. В этих случаях распределение Пуассона может по-прежнему работать нормально в течение более длительных периодов времени, но экспоненциальное значение будет плохо работать при моделировании времени прибытия.

Обратите также внимание на то, что в зависимости от времени суток существует огромная изменчивость: занятость во время поездок на работу; намного медленнее в 3 часа ночи. Убедитесь, что ваша лямбда отражает определенный период времени, который вы рассматриваете.

user2024015
источник
4

Распределение Пуассона обычно получается из биномиального распределения (оба дискретные). Это вы найдете в вики.

Однако распределение Пуассона (дискретное) также может быть получено из экспоненциального распределения (непрерывного).

Я добавил доказательства в Wiki (ссылка ниже):

https://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Poisson_distribution/Archive_1#Derivation_of_the_Poisson_Distribution_from_the_Exponential_Distribution

Стюарт Винтер
источник
связь между дискретным и непрерывным не была очевидной, спасибо за это!
Jspacek