Связь между пуассоном и экспоненциальным распределением

Время ожидания для распределения Пуассона является экспоненциальным распределением с параметром лямбда. Но я этого не понимаю. Например, Пуассон моделирует количество прибывших за единицу времени. Как это связано с экспоненциальным распределением? Допустим, вероятность k прибытий в единицу времени равна P (k) (смоделирована по Пуассону), а вероятность k + 1 равна P (k + 1), как экспоненциальное распределение моделирует время ожидания между ними?

Я буду использовать следующие обозначения, чтобы быть как можно более согласованными с вики (на тот случай, если вы захотите перейти между моим ответом и вики-определениями пуассона и экспоненты ).

$N_t$$t$

$X_t$$t$

По определению следующие условия эквивалентны:

$(X_t > x) \equiv (N_t = N_{t+x})$

$[t,t+x]$$t+x$$t$

По правилу дополнения мы также имеем:

$P(X_t \le x) = 1 - P(X_t > x)$

Используя эквивалентность двух событий, которые мы описали выше, мы можем переписать вышеупомянутое как:

$P(X_t \le x) = 1 - P(N_{t+x} - N_t = 0)$

Но,

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = P(N_x = 0)$

$\lambda$$x$

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = \frac{(\lambda x)^0}{0!}e^{-\lambda x}$

т.е.

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = e^{-\lambda x}$

Подставляя в нашем исходном уравнении, мы имеем:

$P(X_t \le x) = 1 - e^{-\lambda x}$

Выше - cdf экспоненциального pdf.

$\lambda$

$L$

$P(L \gt t) = P(\text{no hits in time t})=\frac{\Lambda^0e^{-\Lambda}}{0!}=e^{-\lambda t}$$\Lambda = \lambda t$

$P(L \le t) = 1 - e^{-\lambda t}$

Любая случайная величина, которая имеет такую ​​функцию плотности, называется экспоненциально распределенной.

Другие ответы хорошо объясняют математику. Я думаю, что это помогает рассмотреть физический пример. Когда я думаю о пуассоновском процессе, я всегда возвращаюсь к мысли о проезде автомобилей по дороге. Лямбда - это среднее количество автомобилей, которые проезжают за единицу времени, скажем, 60 / час (лямбда = 60). Однако мы знаем, что фактическое число будет варьироваться - несколько дней больше, а иногда меньше. Распределение Пуассона позволяет нам моделировать эту изменчивость.

Теперь в среднем 60 автомобилей в час равняется в среднем 1 автомобилю, проезжающему каждую минуту. Опять же, мы знаем, что время между прибытиями будет изменчивым: иногда более 1 минуты; в остальное время меньше. Экспоненциальное распределение позволяет нам моделировать эту изменчивость.

При этом автомобили, проезжающие по дороге, не всегда будут следовать пуассоновскому процессу. Например, если за углом есть сигнал светофора, прибытие будет группироваться, а не постоянно. На открытой трассе медленный тягач может задержать длинную очередь машин, что опять же приведет к группированию. В этих случаях распределение Пуассона может по-прежнему работать нормально в течение более длительных периодов времени, но экспоненциальное значение будет плохо работать при моделировании времени прибытия.

Обратите также внимание на то, что в зависимости от времени суток существует огромная изменчивость: занятость во время поездок на работу; намного медленнее в 3 часа ночи. Убедитесь, что ваша лямбда отражает определенный период времени, который вы рассматриваете.

Распределение Пуассона обычно получается из биномиального распределения (оба дискретные). Это вы найдете в вики.

Однако распределение Пуассона (дискретное) также может быть получено из экспоненциального распределения (непрерывного).

Я добавил доказательства в Wiki (ссылка ниже):

https://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Poisson_distribution/Archive_1#Derivation_of_the_Poisson_Distribution_from_the_Exponential_Distribution