Выборочное распределение радиуса 2D нормального распределения

Двустороннее нормальное распределение со средним и ковариационной матрицей Σ можно переписать в полярных координатах с радиусом r и углом θ . Мой вопрос: Что такое распределение выборки г , то есть расстояния от точки х до расчетного центра ˉ х с учетом ковариационной матрицы образца S ?$\mu$$\Sigma$$r$$\theta$$\hat{r}$$x$$\bar{x}$$S$

Фон: Истинное расстояние от точки x до среднего µ соответствует распределению Хойта . С собственными значениями λ 1 , λ 2 от Σ и λ 1 > λ 2 его параметр формы равен q = $r$$x$$\mu$$\lambda_{1}, \lambda_{2}$$\Sigma$$\lambda_{1} > \lambda_{2}$ , а его масштабный параметр равенω=λ1+λ2. Известно, что кумулятивная функция распределения является симметричной разностью между двумя Q-функциями Маркума.$q=\frac{1}{\sqrt{(\lambda_{1}+\lambda_{2})/\lambda_{2})-1}}$$\omega = \lambda_{1} + \lambda_{2}$

Моделирование предполагает, что включение оценок и S для μ и Σ в истинный cdf работает для больших выборок, но не для небольших выборок. Следующая диаграмма показывает результаты от 200 раз$\bar{x}$$S$$\mu$$\Sigma$

• моделирование 20 2D нормальных векторов для каждой комбинации заданных ( x- ось), ω (строки) и квантиля (столбцы)$q$$x$$\omega$
• для каждого образца, вычисление заданного квантиля наблюдаемого радиуса г к ˉ х$\hat{r}$$\bar{x}$
• для каждого образца, расчет квантиля от теоретического Hoyt (2D нормального) CDF, так и с теоретическим Рэлеем CDF после включения в оценках образцов и S .$\bar{x}$$S$

Когда приближается к 1 (распределение становится круговым), оцененные квантили Хойта приближаются к оцененным квантилям Рэлея, на которые q не влияет . С ростом ω разница между эмпирическими квантилями и оценочными возрастает, особенно в хвосте распределения.$q$$q$$\omega$

Как вы упомянули в своем посте мы знаем распределение оценки , если задана μ , поэтому мы знаем распределение оценки ^ г 2 т р у й истинного г 2 .$\widehat{r_{true}}$$\mu$$\widehat{r^2_{true}}$$r^2$

Мы хотим найти распределение гдехявыраженывиде векторовстолбцов.

$$\widehat{r^2} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i-\overline{x})^T(x_i-\overline{x})$$ $x_i$

Теперь мы делаем стандартный трюк

$$\begin{eqnarray*} \widehat{r^2_{true}} &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^T(x_i-\mu)\\ &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x} + \overline{x} -\mu)^T(x_i-\overline{x} + \overline{x}-\mu)\\ &=&\left[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \overline{x})^T(x_i-\overline{x})\right] + (\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu) \hspace{20pt}(1)\\ &=& \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu) \end{eqnarray*}$$ $(1)$ $$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x})^T(\overline{x}-\mu) = (\overline{x} - \overline{x})^T(\overline{x} - \mu) = 0$$

$\widehat{r^2}$$S$$(\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$$\overline{x}$

$$\widehat{r_{true}^2} = \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$$ $\widehat{r^2_{true}}$$(\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu)$

Отредактировано, чтобы добавить:

$||x_i-\mu||$

$$f(\rho) = \frac{1+q^2}{q\omega}\rho e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega} \rho^2}I_O\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega} \rho^2\right)$$ $I_0$$0^{th}$

$||x_i-\mu||^2$

$$f(\rho) = \frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}\rho}I_0\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega}\rho\right).$$

$a = \frac{1-q^4}{4q^2\omega}$$b=-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}$$c=\frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}$

$||x_i-\mu||^2$

$$\begin{cases} \frac{c}{\sqrt{(s-b)^2-a^2}} & (s-b) > a\\ 0 & \text{ else}\\ \end{cases}$$

$\widehat{r^2_{true}}$

$$\begin{cases} \frac{c^N}{((s/N-b)^2-a^2)^{N/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{else} \end{cases}$$ $||\overline{x} - \mu||^2$ $$\begin{cases} \frac{Nc}{\sqrt{(s-Nb)^2-(Na)^2}} = \frac{c}{\sqrt{(s/N-b)^2-a^2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else} \end{cases}$$

$\widehat{r^2}$

$$\begin{cases} \frac{c^{N-1}}{((s/N-b)^2-a^2)^{(N-1)/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else}. \end{cases}$$

$\widehat{r^2}$

$$g(\rho) = \frac{\sqrt{\pi}Nc^{N-1}}{\Gamma(\frac{N-1}{2})}\left(\frac{2\mathrm{i} a}{N\rho}\right)^{(2 - N)/2} e^{b N \rho} J_{N/2-1}( \mathrm{i} a N \rho).$$