Выборочное распределение радиуса 2D нормального распределения

11

Двустороннее нормальное распределение со средним и ковариационной матрицей Σ можно переписать в полярных координатах с радиусом r и углом θ . Мой вопрос: Что такое распределение выборки г , то есть расстояния от точки х до расчетного центра ˉ х с учетом ковариационной матрицы образца S ?μΣrθr^xx¯S

Фон: Истинное расстояние от точки x до среднего µ соответствует распределению Хойта . С собственными значениями λ 1 , λ 2 от Σ и λ 1 > λ 2 его параметр формы равен q = 1rxμλ1,λ2Σλ1>λ2 , а его масштабный параметр равенω=λ1+λ2. Известно, что кумулятивная функция распределения является симметричной разностью между двумя Q-функциями Маркума.q=1(λ1+λ2)/λ2)1ω=λ1+λ2

Моделирование предполагает, что включение оценок и S для μ и Σ в истинный cdf работает для больших выборок, но не для небольших выборок. Следующая диаграмма показывает результаты от 200 разx¯SμΣ

  • моделирование 20 2D нормальных векторов для каждой комбинации заданных ( x- ось), ω (строки) и квантиля (столбцы)qxω
  • для каждого образца, вычисление заданного квантиля наблюдаемого радиуса г к ˉ хr^x¯
  • для каждого образца, расчет квантиля от теоретического Hoyt (2D нормального) CDF, так и с теоретическим Рэлеем CDF после включения в оценках образцов и S .x¯S

введите описание изображения здесь

Когда приближается к 1 (распределение становится круговым), оцененные квантили Хойта приближаются к оцененным квантилям Рэлея, на которые q не влияет . С ростом ω разница между эмпирическими квантилями и оценочными возрастает, особенно в хвосте распределения.qqω

каракал
источник
1
Что за вопрос?
Джон
@ Джон Я выделил вопрос: «Каково распределение выборки [радиуса] , то есть расстояния от точки x до предполагаемого центра ˉ x, заданного выборочной матрицей Srxx¯S
Каракал
Почему г , в отличие от ^ г 2 ? r^r2^
SomeEE
@MathEE г просто потому , что в литературе я не знаю связан с распределением (истинный) г , а не (истинный) г 2 . Обратите внимание, что это не похоже на ситуацию с расстоянием Махаланобиса, обсуждаемую в этом вопросе . Конечно, результаты для распределения г 2 были бы весьма желательны. r^rr2r^2
Каракал

Ответы:

7

Как вы упомянули в своем посте мы знаем распределение оценки , если задана μ , поэтому мы знаем распределение оценки ^ г 2 т р у й истинного г 2 .rtrue^μrtrue2^r2

Мы хотим найти распределение гдехявыраженывиде векторовстолбцов.

r2^=1Ni=1N(xix¯)T(xix¯)
xi

Теперь мы делаем стандартный трюк

rtrue2^=1Ni=1N(xiμ)T(xiμ)=1Ni=1N(xix¯+x¯μ)T(xix¯+x¯μ)=[1Ni=1N(xix¯)T(xix¯)]+(x¯μ)T(x¯μ)(1)=r2^+(x¯μ)T(x¯μ)
(1)
1Ni=1N(xix¯)T(x¯μ)=(x¯x¯)T(x¯μ)=0

r2^S(x¯μ)T(x¯μ)x¯

rtrue2^=r2^+(x¯μ)T(x¯μ)
rtrue2^(x¯μ)T(x¯μ)

Отредактировано, чтобы добавить:

||xiμ||

f(ρ)=1+q2qωρe(1+q2)24q2ωρ2IO(1q44q2ωρ2)
I00th

||xiμ||2

f(ρ)=121+q2qωe(1+q2)24q2ωρI0(1q44q2ωρ).

a=1q44q2ωb=(1+q2)24q2ωc=121+q2qω

||xiμ||2

{c(sb)2a2(sb)>a0 else

rtrue2^

{cN((s/Nb)2a2)N/2(s/Nb)>a0else
||x¯μ||2
{Nc(sNb)2(Na)2=c(s/Nb)2a2(s/Nb)>a0 else

r2^

{cN1((s/Nb)2a2)(N1)/2(s/Nb)>a0 else.

r2^

g(ρ)=πNcN1Γ(N12)(2iaNρ)(2N)/2ebNρJN/21(iaNρ).
SomeEE
источник
Спасибо! Я должен проработать детали, прежде чем принять.
Каракал
rtrue2^Hoyt||x¯μ||2N(0,1NΣ)r2^r2^Σt
Я отредактировал свой ответ на полный ответ. Пожалуйста, дайте мне знать, если вы согласны.
SomeEE
Σr2^S1Ni=1N(xix¯)TS1(xix¯)1
||xiμ||2r2Γ(q,ωq)Γ