Следующие похожи, но отличаются от предыдущих постов здесь и здесь
- Для двух распределений, которые допускают моменты всех порядков, если все моменты двух распределений одинаковы, то являются ли они одинаковыми распределениями ae?
- Для двух распределений, которые допускают функции, порождающие моменты, если они имеют одинаковые моменты, являются ли их функции, порождающие моменты, одинаковыми?
Ответы:
Позвольте мне ответить в обратном порядке:
2. Да. Если их MGF существуют, они будут такими же *.
смотрите здесь и здесь, например
Действительно, это следует из результата, который вы даете в посте, из которого он исходит если MGF однозначно ** определяет распределение, а два распределения имеют MGF и имеют одинаковое распределение, они должны иметь одинаковый MGF (в противном случае у вас был бы контрпример к «MGF однозначно определяют распределения»).
* для определенных значений «то же самое», из-за этой фразы «почти везде»
** « почти везде »
Кендалл и Стюарт перечисляют семейство непрерывного распространения (возможно, первоначально из-за Стилтьеса или кого-то из этого винтажа, но, насколько я помню, неясно, прошло несколько десятилетий), которые имеют идентичные последовательности моментов и, тем не менее, разные.
В книге Романо и Зигеля (Контрпримеры в вероятности и статистике) перечислены контрпримеры в разделах 3.14 и 3.15 (стр. 48-49). (На самом деле, глядя на них, я думаю, что оба они были в Кендалле и Стюарте.)
Романо Дж. П. и Сигел А. Ф. (1986).
Контрпримеры в вероятности и статистике.
Бока Ратон: Чепмен и Холл / CRC.
Для 3.15 они кредитуют Феллера, 1971, р227
Этот второй пример включает в себя семейство плотностей
и затем показывает, что вторая часть вносит 0 в каждый момент, поэтому они все совпадают с моментами первой части.
Возможно, еще лучше - взять гораздо больший диапазон и использовать четвертую корневую шкалу на оси x, чтобы синяя кривая была прямой, а зеленая - как кривая греха над и под ней, что-то вроде этого:
Шевеление выше и ниже синей кривой - большей или меньшей величины - оказывается, что все положительные целые моменты остаются неизменными.
источник