Меня интересует следующая односторонняя версия неравенства Чебышева Кантелли :
По сути, если вы знаете среднее значение и дисперсию населения, вы можете рассчитать верхнюю границу вероятности наблюдения определенного значения. (Это было мое понимание, по крайней мере.)
Однако я хотел бы использовать выборочное среднее значение и выборочную дисперсию вместо фактического среднего значения и дисперсии.
Я предполагаю, что, поскольку это внесет больше неопределенности, верхняя граница увеличится.
Существует ли неравенство, аналогичное приведенному выше, но которое использует выборочное среднее значение и дисперсию?
Редактировать : «Образец» аналог неравенства Чебышева (не односторонний), был разработан. На странице Википедии есть некоторые детали. Тем не менее, я не уверен, как это будет переводиться в односторонний случай, который я описал выше.
Ответы:
Да, мы можем получить аналогичный результат, используя среднее значение и дисперсию выборки, и, возможно, в процессе появятся пара небольших сюрпризов.
Во-первых, нам нужно немного уточнить формулировку вопроса и изложить несколько предположений. Важно отметить, что мы не можем надеяться заменить дисперсию совокупности дисперсией выборки в правой части, поскольку последняя случайна ! Итак, переориентируем наше внимание на эквивалентное неравенство В случае, если не ясно, что они эквивалентны, обратите внимание, что мы просто заменили t на t σ в исходном неравенстве без потери общности.
Во-вторых, мы предполагаем, что у нас есть случайный образец и нас интересует верхняя оценка для аналогичной величины PИкс1, … , XN , где ˉ X - среднее значение выборки, а S стандартное отклонение выборки.P(X1−X¯≥tS) X¯ S
Полшага вперед
Отметим, что уже применяя оригинальное одностороннее неравенство Чебышева к , мы получаем, что P(X1- ˉ X ≥tσ)≤1X1−X¯
Примерный вариант одностороннего Чебышева
Примечание : мы не предполагаем, что имеет либо конечное среднее значение, либо дисперсию!Икся
Доказательство . Идея состоит в том, чтобы адаптировать доказательство первоначального одностороннего неравенства Чебышева и использовать симметрию в процессе. Во-первых, установите для удобства обозначения. Затем заметим, что P ( Y 1 ≥ t S ) = 1Yя= Xя- Х¯
Теперь, для любого , на { S > 0 } , 1 ( Y я ≥ т S ) = 1 ( Y я + т с S ≥ T S ( 1 + гр ) ) ≤ 1 ( ( Y яс > 0 { S> 0 }
Тогда поскольку ˉ Y = 0 и ∑ i Y 2
Правая часть является константой ( ! ), Поэтому при ожидании с обеих сторон получаем Наконец, минимизируя по c , получаем c = n - 1
Это надоедливое техническое состояние
Мы можем пошевелиться, установивq=P(S=0)
Несколько более чистое неравенство получается, если мы заменим нестрогое неравенство в утверждении вероятности строгой версией.
источник
Затем, используя обозначение ответа кардинала, мы можем утверждать, что
Поскольку нам требуются три различных значения, мы будем иметьS≠ 0 по предположению. Итак, постановкаt = n - 1-----√ в неравенстве кардинала (начальная версия) получаем
Eq.[2] is of course compatible with eq. [1] . The combination of the two tells us that Cardinal's Inequality is useful as a probabilistic statement for 0<t<n−1−−−−−√ .
If Cardinal's Inequality requiresS to be calculated bias-corrected (call this S~ ) then the equations become
and we chooset=n−1n√ to obtain through Cardinal's Inequality
источник