Я смотрю на распределение суммы квадратов Т-распределенных случайных величин с показателем хвоста . Где X - это rv, преобразование Фурье для , дает мне решение для квадрата до свертки .
При решение возможно, но громоздко и невозможно инвертировать, чтобы сделать обратный Фурье для . Таким образом, возникает вопрос: была ли проделана работа по распределению выборочной дисперсии или стандартного отклонения Т-распределенных случайных величин? (Было бы для StudentT то, что хи-квадрат для Гаусса). Спасибо.
(Возможное решение) Я выяснил, что распределено по Фишеру , поэтому посмотрим на сумму распределенных переменных Фишера.
(Возможное решение) Из характеристических функций среднее суммы имеет те же первые два момента распределения когда они существуют. Следовательно, с помощью квадратного корня и изменения переменной внутри распределения вероятностей плотность стандартного отклонения Т-переменных n-выборки можно аппроксимировать с помощью: X 2 F ( n , α ) g ( u ) = 2 α α / 2 n n / 2 u n - 1 ( α + n u 2 ) - α
Ответы:
Уточнение вашего вопроса (мне кажется, что это две взаимосвязанные, но разные части): вы ищете (1) распределение суммы независимых квадратов случайных величин и (2) выборку распределение дисперсии (или связанного стандартного отклонения) случайной выборки, взятой из распределения (предположительно, ваша причина спросить о (1)).t α t αn tα tα
Распределение суммы независимых квадратов переменныхtα
Если (независимые) случайные переменные с df, то неверно, что (что это то, на что вы претендуете в своем втором «возможном решении»). Это легко проверить, рассматривая первый момент каждого (первый момент последнего в раз больше первого).Ti∼tα t α ∑ni=1T2i∼F(n,α) n
Утверждение в вашем первом «возможном решении» является правильным: . Вместо того, чтобы прибегать к характеристическим функциям, я думаю, что этот результат более прозрачен, если рассматривать характеристику распределения как распределение отношения где - стандартная нормальная переменная и является хи-квадрат переменной с степенями свободы, независимо от . Тогда квадрат этого отношения представляет собой отношение двух независимых переменных хи-квадрат, масштабированных по соответствующим степеням свободы, т.е. сT2i∼F(1,α) t ZU/α√ Z U α Z V/1U/α V=Z2 , который является стандартной характеристикой распределения (с числителем df, равным 1, и знаменателем df, равным ).F(1,α) α
Принимая во внимание примечание, которое я сделал в отношении первых моментов в первом абзаце выше, может показаться, что лучше заявить, что [у меня есть здесь немного злоупотребляют обозначениями, используя то же выражение для распределения, а также случайную переменную, имеющую это распределение.]. Хотя первые моменты совпадают, вторые центральные моменты не совпадают (для дисперсия первого выражения меньше, чем дисперсия последнего выражения), так что это утверждение также ложно. [При этом интересно отметить, что , что является результатом, который мы ожидаем при суммировании в квадрате (стандарт) нормальные колебания.]∑ni=1T2i∼nF(n,α) α>4 limα→∞nF(n,α)=χ2n
Отбор проб Распределение дисперсионного При отборе проб из распространенияtα
Учитывая то, что я написал выше, выражение, которое вы получаете для «плотности стандартного отклонения T-переменных n-выборки», неверно. Однако, даже если было правильным распределением, стандартное отклонение - это не просто квадратный корень из суммы квадратов (как вы, похоже, привыкли получить плотность ). Вместо этого вы будете искать (масштабированное) выборочное распределение . В нормальном случае LHS этого выражения может быть переписан как сумма квадратов нормальных переменных (термин внутри квадрата может быть переписан как линейная комбинация нормальных переменных, которая снова нормально распределена), что приводит к знакомыйF(n,α) g(u) ∑ni=1(Ti−T¯)2=∑ni=1T2i−nT¯2 χ2 Распределение . К сожалению, линейная комбинация переменных (даже с одинаковыми степенями свободы) не распределена как , поэтому подобный подход не может быть использован.t t
Возможно, вам следует пересмотреть то, что вы хотите продемонстрировать? Например, можно достичь цели, используя некоторые симуляции. Тем не менее, вы указываете пример с , ситуация, когда только первый момент является конечным, поэтому моделирование не поможет с такими моментными вычислениями.α=3 F(1,α)
источник
Вы можете проверить T-дистрибутив Hotelling ( http://en.wikipedia.org/wiki/Hotelling's_T-squared_distribution ). Есть отношения с являющимся ( http://en.wikipedia.org/wiki/F-distribution#Related_distributions_and_properties ), но я не уверен, что это именно то, что вы просите.T2 F
источник