Ожидаемое значение статистики минимального заказа из обычной выборки

ОБНОВЛЕНИЕ 25 января 2014: ошибка теперь исправлена. Пожалуйста, игнорируйте рассчитанные значения ожидаемого значения в загруженном изображении - они неверны - я не удаляю изображение, потому что оно сгенерировало ответ на этот вопрос.

ОБНОВЛЕНИЕ 10 января 2014: ошибка была найдена - математическая опечатка в одном из использованных источников. Готовимся к исправлению ...

Плотность статистики минимального порядка из коллекции iid непрерывных случайных величин с cdf и pdf равна F X ( x ) f X ( x ) f X ( 1 ) ( x ( 1 ) ) = n f X ( x ( 1 ) ) [ 1 - F X ( x ( 1 ) ) ] n - $n$$F_X(x)$$f_X(x)$

$$f_{X_{(1)}}(x_{(1)}) = nf_X(x_{(1)})\left[1-F_X(x_{(1)})\right]^{n-1} \qquad [1]$$

Если эти случайные величины стандартно нормальны, то

$$f_{X_{(1)}}(x_{(1)}) = n\phi(x_{(1)})\left[1-\Phi(x_{(1)})\right]^{n-1} = n\phi(x_{(1)})\left[\Phi(-x_{(1)})\right]^{n-1}\qquad [2]$$ поэтому его ожидаемое значение равно $$E\left(X_{(1)}\right) = n\int_{-\infty}^{\infty}x_{(1)}\phi(x_{(1)})\left[\Phi(-x_{(1)})\right]^{n-1}dx_{(1)}\qquad [3]$$

где мы использовали симметричные свойства стандартной нормали. В Owen 1980 , p. 402, уравнение [ n, 011 ] мы находим, что

$$\int_{-\infty}^{\infty}z\phi(z)\left[\Phi(az)\right]^m dz= \frac {am}{(\sqrt {a^2+1})(\sqrt {2\pi})}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(z)\left[\Phi\left(\frac {az}{\sqrt {a^2+1}}\right)\right]^{m-1}dz\qquad [4]$$

Сопоставляя параметры между уравнениями и ( , ), получаем$[3]$$[4]$$a=-1$$m=n-1$

$$E\left(X_{(1)}\right) = -\frac {n(n-1)}{2\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(x_{(1)})\left[\Phi\left(\frac {-x_{(1)}}{\sqrt 2}\right)\right]^{n-2}dx_{(1)}\qquad [5]$$

Снова в Оуэн 1980, р. 409, экв [ n0,010.2 ], мы находим, что

$$\int_{-\infty}^{\infty}\left[\prod_{i=1}^{m}\Phi\left(\frac{h_i-d_iz}{\sqrt {1-d_i^2}}\right)\right] \phi(z)dz= \mathcal Z_m(h_1,...,h_m;\{\rho_{ij}\})\qquad [6]$$

где - стандартная многомерная нормаль, - коэффициенты парной корреляции и .$\mathcal Z_m()$$\rho_{ij}=d_id_j,\; i\neq j$$-1\le d_i\le 1$

Соответствуя и мы имеем, , и $[5]$$[6]$$m=n-2$$h_i=0,\;\forall i$

$$\frac{d_i}{\sqrt {1-d_i^2}} = \frac 1{\sqrt 2} \Rightarrow d_i = \pm \frac 1{\sqrt 3} \forall i \Rightarrow \rho_{ij} = \rho = 1/3$$

Используя эти результаты, уравнение становится$[5]$

$$E\left(X_{(1)}\right) = -\frac {n(n-1)}{2\sqrt{\pi}}\mathcal Z_{n-2}(0,...,0;\rho=1/3)\qquad [7]$$

Этот многовариантный стандартный нормальный интеграл вероятности от равноскоррелированных переменных, все оцениваемые в нуле , получил достаточное количество исследований, и были получены различные способы его аппроксимации и вычисления. Обширным обзором (связанным с вычислением многомерных нормальных интегралов вероятности в целом) является Гупта (1963) . Gupta предоставляет явные значения для различных коэффициентов корреляции и максимум для 12 переменных (таким образом, он охватывает набор из 14 переменных). Результаты (ПОСЛЕДНЯЯ КОЛОННА НЕПРАВИЛЬНА) :

Теперь, если мы построим график изменения значения зависимости от , получим$\mathcal Z_{n-2}(0,...,0;\rho=1/3)$$n$

Так я приезжаю в моих трех вопросов / запросов:
1) Не могли бы проверить , что ктото аналитически и / или проверить с помощью моделирования , что результаты для ожидаемого значения являются правильными (т.е. проверить справедливость формулы )?$[7]$

2) Предполагая, что подход правильный, может ли кто-нибудь дать решение для нормалей с ненулевым средним и неунитарной дисперсией? При всех трансформациях я чувствую головокружение.

3) Значение интеграла вероятности, кажется, развивается плавно. Как насчет аппроксимации какой-нибудь функцией ?$n$

Ваши результаты не отображаются правильно. Это легко увидеть без каких-либо вычислений, потому что в вашей таблице ваш увеличивается с размером выборки ; очевидно, ожидаемое значение минимума выборки должно уменьшаться (то есть становиться более отрицательным) по мере увеличения размера выборки .$E[X_{(1)}]$ $n$$n$

Проблема концептуально довольно проста.

Вкратце: если ~ с pdf :$X$$N(0,1)$$f(x)$

... тогда pdf статистики 1-го порядка (в выборке размера ):$n$

... полученный здесь с помощью OrderStatфункции in mathStatica, с областью поддержки:

Тогда для можно легко получить точно так же, как:$E[X_{(1)}]$$n = 1,2,3$

Точный случай приблизительно , что, очевидно, отличается от вашей работы -1,06 (строка 1 вашей таблицы), поэтому кажется, что с вашей работой что-то не так (или, возможно, мое понимание того, что вы ищете) ,$n = 3$$-0.846284$

Для получение решений в замкнутой форме более сложно, но даже если символическое интегрирование оказывается трудным, мы всегда можем использовать численное интегрирование (с произвольной точностью, если это необходимо). Это действительно очень просто ... вот, например, для размера выборки с использованием Mathematica :$n \ge 4$$E[X_{(1)}]$$n = 1$

 sol = Table[NIntegrate[x g, {x, -Infinity, Infinity}], {n, 1, 14}]

{0., -0.56419, -0.846284, -1.02938, -1.16296, -1.26721, -1.35218, -1.4236, -1.48501, -1.53875, -1.58644, -1.62923, -1.66799, -1.70338}

Все сделано. Эти значения, очевидно, сильно отличаются от значений в вашей таблице (правая колонка).

Чтобы рассмотреть более общий случай родителя , действуйте точно так же, как описано выше, начиная с общего нормального pdf.$N(\mu, \sigma^2)$