Дисперсия среднего значения выборки начальной загрузки

Пусть быть отчетливым наблюдением (без связей). Пусть X * 1 , . , , , Х * п обозначает образец самозагрузки (образец из эмпирической CDF) и пусть ˉ Х * п = $X_{1},...,X_{n}$$X_{1}^{*},...,X_{n}^{*}$ . НайтиE( ˉ X ∗ n )иVar( ˉ X ∗ n ).$\bar{X}_{n}^{*}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{*}$$E(\bar{X}_{n}^{*})$$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})$

То , что я до сих пор является то , что есть X 1 , . , , , X n каждый с вероятностью $X_{i}^{*}$$X_{1},...,X_{n}$ так E(X ∗ i )=$\frac{1}{n}$и E(X ∗ 2 i )=

$$E(X_{i}^{*})=\frac{1}{n}E(X_{1})+...+\frac{1}{n}E(X_{n})=\frac{n\mu}{n}=\mu$$ что дает V a r ( X ∗ i ) = E ( X ∗ 2 i ) - ( E ( X ∗ i ) ) 2 = μ 2 + σ 2 - μ 2 = σ $$E(X_{i}^{*2})=\frac{1}{n}E(X_{1}^{2})+...+\frac{1}{n}E(X_{n}^{2})=\frac{n(\mu^{2}+\sigma^{2})}{n}=\mu^{2}+\sigma^{2}\>,$$ $$\mathrm{Var}(X_{i}^{*})=E(X_{i}^{*2})-(E(X_{i}^{*}))^{2}=\mu^{2}+\sigma^{2}-\mu^{2}=\sigma^{2} \>.$$

Тогда и Var( ˉ X ∗ n )=Var(

$$E(\bar{X}_{n}^{*})=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{*})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_{i}^{*})=\frac{n\mu}{n}=\mu$$ $$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=\mathrm{Var}(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{*})=\frac{1}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}\mathrm{Var}(X_{i}^{*})$$ $X_{i}^{*}$$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=\frac{n\sigma^{2}}{n^{2}}=\frac{\sigma^{2}}{n}$

Тем не менее, я не получаю тот же ответ, когда я включаю $X_{1},\ldots,X_{n}$

$$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=E(\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},...,X_{n}))+\mathrm{Var}(E(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},\ldots,X_{n})) \>.$$

$E(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},\ldots,X_{n})=\bar{X}_{n}$$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},\ldots,X_{n})=\frac{1}{n^{2}}(\sum X_{i}^{2}-n\bar{X}_{n}^{2})$$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=\frac{(2n-1)\sigma^{2}}{n^{2}}$

Я что-то здесь не так делаю? Мне кажется, что я не правильно использую формулу условной дисперсии, но я не уверен. Любая помощь будет оценена.

$\frac{n-1}{n^2}S^2$

Это может быть поздний ответ, но что неправильно в ваших вычислениях, так это то, что вы предположили, что ваш образец начальной загрузки безусловно . Это неверно: условно для вашей выборки, пример начальной загрузки действительно iid, но безусловно вы теряете независимость (но у вас все еще есть идентично распределенные случайные величины). По сути, это упражнение 13 Ларри Вассермана. Все непараметрические статистические данные .