Нижний индекс в ожиданиях

64

Каково точное значение индексной записи в условных ожиданиях в рамках теории меры? Эти индексы не появляются в определении условного ожидания, но мы можем видеть, например, на этой странице википедии . (Обратите внимание, что это было не всегда так, одна и та же страница несколько месяцев назад).EX[f(X)]

Например, что должно с и ?EX[X+Y]XN(0,1)Y=X+1

Emile
источник
10
Без сомнения, кто-то присоединится к формальным определениям, неофициально, все ожидания - это ожидания относительно распределения (/ ожидания относительно) некоторой (возможно, многомерной) случайной величины, независимо от того, было ли это явно указано или подразумевается. Во многих случаях это очевидно ( подразумевает а не ). В других случаях необходимо различать; рассмотрим закон полной дисперсии, например: . E(X)EX(X)EW(X)Var[Y]=EX[Var[YX]]+VarX[E[YX]]
Glen_b
3
@Glen_b Действительно ли необходимо указывать в законе полной дисперсии? Поскольку , для некоторого , не ясно ли, что над ? E[Y|X]=f(X)fVar[E[Y|X]]X
Томас Але
3
@ThomasAhle Вы совершенно правы - слово «необходимый» было слишком сильным для этого примера. Строго говоря, это должно быть ясно, но часто читатели, привыкшие работать с ним, часто путаются, поэтому обычно, а не обязательно, об этом прямо говорят. Есть некоторые выражения, связанные с ожиданиями, в которых вы не можете быть уверены, не указав, но на самом деле это не одно из них
Glen_b

Ответы:

88

В выражении, в котором задействовано более одной случайной величины, один символ не разъясняет, в отношении какой случайной величины ожидаемое значение «принято». НапримерE

E[h(X,Y)]=?h(x,y)fX(x)dx
или
E[h(X,Y)]=?h(x,y)fY(y)dy

Ни один . Когда задействовано много случайных величин, и в символе отсутствует индекс , ожидаемое значение берется относительно их совместного распределения:E

E[h(X,Y)]=h(x,y)fXY(x,y)dxdy

Когда присутствует индекс ... в некоторых случаях он говорит нам, какую переменную мы должны обусловить . Так

EX[h(X,Y)]=E[h(X,Y)X]=h(x,y)fh(X,Y)X(h(x,y)x)dh

... Но в других случаях он говорит нам, какую плотность использовать для "усреднения"

EX[h(X,Y)]=h(x,y)fX(x)dx

Скорее запутанно, я бы сказал, но кто сказал, что научная нотация полностью свободна от двусмысленности или многократного использования? Вы должны посмотреть, как каждый автор определяет использование таких символов.

Алекос Пападопулос
источник
5
У меня два вопроса. 1) Не уверен, правильно ли я понимаю, могу ли я интерпретировать ожидание как одно из первых двух уравнений, если X или Y были зафиксированы? 2) Можете ли вы привести пример для EQ 4 и EQ 5? Мне трудно их интерпретировать, и я думаю, что конкретные примеры помогут. Спасибо!
потолочный кот
2
@ceiling кот 1) является правильным , потому что по существу вы не имеете две случайные величины больше. Аналогично для исправления в . E[h(X,y¯)]=h(x,y¯)fX(x)dxXx¯
Алекос Пападопулос
4
@ceiling cat 2) -EQ5: рассмотрим . - случайная величина в порядке (для соответствующей поддержки). Затем, используя конкретное значение для краткой записи, где - плотность (что бы это ни было). Очевидно, не интегрируется, и он останется нетронутым. Но результат, который вы получите, выиграл ' не может быть числом (как в моем предыдущем комментарии), но случайной величиной (функцией ), поскольку здесь не фиксировано, а просто не интегрировано.Z=X2(Y(Y+2)3)=h(X,Y)ZEX(Z)=EX[(h(X,Y)]=x2(y(y+2)2)fX(x)dxfX(x)XYYY
Алекос Пападопулос
2
@ceiling cat В обоих случаях в моих двух предыдущих комментариях «механика» математических вычислений будет одинаковой. Конечные результаты имеют разные интерпретации.
Алекос Пападопулос
2
@ceiling кот 2) -EQ4: Рассмотрим ту же случайную величину . Его ожидаемое значение, от : (используя другое значение для сокращенной записи) . Обратите внимание, что здесь и не появляются непосредственно в подынтегральном выражении - они «сжаты» в символе . ZXEX[Z]=E(ZX)=zfZ|X(zx)dzxyz
Алекос Пападопулос