Гиперприорная плотность для иерархической модели Гамма-Пуассона

В иерархической модели данных где на практике типичным является выбор значений ( , что среднее значение и дисперсия гамма-распределения примерно соответствуют среднему значению и дисперсии данных (например, Clayton and Kaldor, 1987 "Эмпирические байесовские оценки стандартизированных по возрасту относительных рисков для картирования заболеваний", " Биометрия" ). Очевидно, что это только специальное решение, поскольку оно завышает уверенность исследователя в параметрахy ∼ Пуассон ( λ ) λ ∼ Гамма ( α , β ) α , β ) $y$

$$y \sim \textrm{Poisson}(\lambda)$$ $$\lambda \sim \textrm{Gamma}(\alpha, \beta)$$ $\alpha, \beta)$$y$$(\alpha, \beta)$и небольшие флуктуации в реализованных данных могут иметь большие последствия для гамма-плотности, даже если основной процесс генерации данных остается тем же.

Кроме того, в Байесовском анализе данных (2-е издание) Гельман пишет, что этот метод « неаккуратный» ; в книге и в этой статье (начиная со стр. 3232) он вместо этого предлагает выбрать некоторую гиперприорную плотность , аналогично примеру опухолей крысы (начиная со стр. 130).$p(\alpha, \beta)$

Хотя ясно, что любое допустимо при условии, что оно дает конечную апостериорную плотность, я не нашел никаких примеров гиперприорных плотностей, которые исследователи использовали для этой проблемы в прошлом. Я был бы очень признателен, если бы кто-то мог указать мне на книги или статьи, в которых использовалась плотность гиперприоров для оценки модели Пуассона-Гаммы. В идеале меня интересует который является относительно плоским и на котором будут доминировать данные, как в примере с опухолью крысы, или обсуждение, сравнивающее несколько альтернативных спецификаций и компромиссы, связанные с каждым.p ( α , β $p(\alpha, \beta)$$p(\alpha, \beta)$

На самом деле я не отвечаю на этот вопрос, поскольку я не указываю вам книги или статьи, в которых используется гиперприор, а вместо этого описываю и даю ссылки на материалы о приорах по параметрам гаммы.

Во-первых, обратите внимание, что модель Пуассона-Гаммы приводит к тому, что интегрируется в отрицательное биномиальное распределение с параметрами и . Второй параметр находится в диапазоне . Если вы хотите быть неинформативным, может подойти Джеффрис до . Вы можете поставить априор непосредственно на или проработать изменение переменных, чтобы получить:α β / ( 1 + β ) ( 0 , 1 ) p = β / ( 1 + β ) $\lambda$$\alpha$$\beta/(1+\beta)$$(0,1)$$p = \beta/(1+\beta)$$p$

$p(\beta) \propto \beta^{-1/2}(1+\beta)^{-1}$

В качестве альтернативы можно отметить, что является параметром масштаба для гамма-распределения, и, как правило, перед Джеффрисом для параметра масштаба равен . Может показаться странным, что предшествующий Джеффри для отличается между двумя моделями, но сами модели не эквивалентны; один для распределения и другое для распространения . Аргумент в пользу первого состоит в том, что, при условии отсутствия кластеризации, данные действительно распределяются как отрицательные биномиальные , так что априоры помещаются непосредственно в и$\beta$$\beta$$1/\beta$$\beta$$y | \alpha, \beta$$\lambda | \alpha, \beta$$(\alpha, p)$$\alpha$$p$это то, что нужно сделать. OTOH, если, например, у вас есть кластеры в данных, где наблюдения в каждом кластере имеют одинаковую , вам действительно нужно как-то смоделировать , и поэтому трактовать как параметр масштаба гамма-распределения будет кажется более подходящим. (Мои мысли на возможно спорную тему.)$\lambda$$\lambda$$\beta$

Первый параметр также может быть адресован через приоры Джеффриса. Если мы используем общую технику разработки априорных значений Джеффриса для каждого параметра независимо, а затем формируем объединение (не-Джеффриса), предшествующее как произведение двух однопараметрических априоров, мы получаем априор для параметра формы гамма-распределения. :$\alpha$

$p(\alpha) \propto \sqrt{\text{PG}(1,\alpha)}$

где функция полигаммы . Неуклюжий, но обрезанный. Вы можете объединить это с любым из приведенных выше приоров Джеффриса, чтобы получить неинформативное совместное предварительное распространение. Комбинируя его с для параметра гамма-шкалы, получаем эталонный априор для параметров Gamma.$\text{PG}(1,\alpha) = \sum_{i=0}^{\infty}(i+\alpha)^{-2}$$1/\beta$

Если мы хотим пойти по маршруту Full Jeffreys, сформировав истинный приоритет Jeffreys для параметров Gamma, мы получим:

$p(\alpha, \beta) \propto \sqrt{\alpha \text{PG}(1,\alpha)-1}/\beta$

Однако априорные значения Джеффриса для многомерных параметров часто имеют плохие свойства, а также плохие характеристики сходимости (см. Ссылку на лекцию ). Я не знаю, так ли это для гаммы, но тестирование даст некоторую полезную информацию.

Для получения дополнительной информации о априорных значениях гаммы см. Стр. 13-14 Каталога неинформативных априорных значений , Ян и Бергер. Там также есть много других дистрибутивов. Для обзора Джеффриса и справочных приоров, вот некоторые примечания лекции .