Почему преобразование квадратного корня рекомендуется для данных подсчета?

Часто рекомендуется брать квадратный корень, когда у вас есть данные подсчета. (Некоторые примеры CV можно найти в ответе @ HarveyMotulsky здесь или в ответе @ whuber здесь .) С другой стороны, при подборе обобщенной линейной модели с переменной отклика, распределенной как Пуассон, журнал является канонической ссылкой . Это похоже на преобразование журнала ваших данных ответа (хотя точнее - преобразование журнала , параметра, управляющего распределением ответа). Таким образом, между этими двумя есть некоторая напряженность. $\lambda$

• Как вы примиряете это (кажущееся) несоответствие?
• Почему квадратный корень лучше, чем логарифм?

Квадратный корень приблизительно стабилизирует дисперсию для Пуассона . Существует целый ряд вариантов квадратного корня, которые улучшают свойства, такие как добавление$\frac{3}{8}$ перед извлечением квадратного корня или Freeman-Tukey ( - хотя это часто корректируется и на среднее значение).$\sqrt{X}+\sqrt{X+1}$

Преобразование квадратного корня несколько улучшает симметрию - хотя и не так хорошо, как степень [1]:$\frac{2}{3}$

Если вы особенно хотите почти нормальность (пока параметр Пуассона не очень мал) и не заботитесь о / можете приспособиться к гетероскедастичности, попробуйте power.$\frac{2}{3}$

Каноническая связь обычно не является особенно хорошим преобразованием для данных Пуассона ; лог ноль - это особая проблема (другая - гетероскедастичность; вы также можете получить асимметрию влево, даже если у вас нет нулей). Если наименьшие значения не слишком близки к 0, это может быть полезно для линеаризации среднего значения. Это хорошая «трансформация» для условного среднего по Пуассону в ряде контекстов, но не всегда по пуассоновским данным. Однако, если вы хотите преобразовать, одной из распространенных стратегий является добавление константы которая позволяет избежать проблемы . В таком случае мы должны рассмотреть, какую константу добавить. Не отходя слишком далеко от рассматриваемого вопроса, значения между$y^*=\log(y+c)$$0$$c$$0.4$и работают очень хорошо (например, в отношении смещения в оценке наклона) в диапазоне значений . Я обычно просто использую так как это просто, со значениями около часто немного лучше.$0.5$$\mu$$\frac12$$0.43$

Что касается того, почему люди выбирают одно преобразование другому (или ни одного) - это действительно вопрос того, что они делают, чтобы добиться этого.

[1]: Сюжеты, созданные по образцу сюжетов Хенрика Бенгтссона в его раздаточном материале «Обобщенные линейные модели и преобразованные остатки», см. Здесь (см. Первый слайд на стр. 4). Я добавил немного y-дрожания и пропустил строки.