Понимание меры концентрации неравенства

В духе этого вопроса Понимая доказательство леммы, используемой в неравенстве Хеффдинга , я пытаюсь понять шаги, которые приводят к неравенству Хеффдинга.

Что является для меня самым загадочным в доказательстве, так это то, что экспоненциальные моменты вычисляются для суммы переменных iid, после чего применяется неравенство Маркова.

Моя цель состоит в том, чтобы понять: почему этот метод дает жесткое неравенство и является ли он самым трудным для достижения? Типичное объяснение относится к моменту, генерирующему свойства показателя степени. Тем не менее, я нахожу это слишком расплывчатым.

Сообщение в блоге Тао, http://terrytao.wordpress.com/2010/01/03/254a-notes-1-concentration-of-measure/#hoeff , может содержать некоторые ответы.

Учитывая эту цель, мой вопрос касается трех пунктов в посте Дао, которые я застрял и которые, как я надеюсь, могли бы дать понимание после объяснения.

1. Тао выводит следующее неравенство, используя k-й момент Если это верно для любого k, он завершает экспоненциальную оценку. Это где я потерян. P(|Sn|≥λ

   $$\displaystyle {\bf P}( |S_n| \geq \lambda \sqrt{n} ) \leq 2 (\frac{\sqrt{ek/2}}{\lambda})^k. \ \ \ \ \ (7)$$ $$\displaystyle {\bf P}( |S_n| \geq \lambda \sqrt{n} ) \leq C \exp( - c \lambda^2 ) \ \ \ \ \ (8)$$

2. Представлена ​​лемма Хеффдинга: Лемма 1 (лемма Хеффдинга) Пусть - скалярная переменная, принимающая значения в интервале . Тогда для любого , В частности Доказательство леммы 1 начинается с ожидания от разложения Тейлора Почему разложение может быть ограничено этим квадратичным членом? И как следует уравнение 10?[ a , b ] t > 0 E e t X ≤ e t E X ( 1 + O ( t 2 V a r ( X ) exp ( O ( t ( b - a ) ) ) ) . ( 9 ) E e t X ≤ e t E X exp ( O ${X}$${[a,b]}$${t>0}$

   $$\displaystyle {\bf E} e^{tX} \leq e^{t {\bf E} X} (1 + O( t^2 {\bf Var}(X) \exp( O( t (b-a) ) ) ). \ \ \ \ \ (9)$$ e t X = 1 + t X + O ( t 2 X 2 exp ( O ( t ) ) $$\displaystyle {\bf E} e^{tX} \leq e^{t {\bf E} X} \exp( O( t^2 (b-a)^2 ) ). \ \ \ \ \ (10)$$ $\displaystyle e^{tX} = 1 + tX + O( t^2 X^2 \exp( O(t) ) )$

3. Наконец, дано упражнение:
   Упражнение 1 Покажите, что фактор в (10) можно заменить на , и это острый. Это дало бы гораздо более короткое доказательство, чем доказательство леммы, используемой в неравенстве Хеффдинга , в разделе « Понимание» , но я не знаю, как это решить.т 2 ( б - ) 2 /${O(t^2(b-a)^2)}$${t^2 (b-a)^2/8}$

Любые дальнейшие интуиции \ объяснения о доказательстве неравенства или причинах, по которым мы не можем установить более жесткую границу, определенно приветствуются.

$\mathbb{E}e^X$$\mathbb{E} X$$X$$\mathbb{E} e^X$$\mathbb{E}X$$\mathbb{E} e^X$$\mathbb{E} e^X$$e^{X}=1+X+\frac{X^2}{2}+\frac{X^3}{6}+\ldots$$X$$\mathbb{E}X$$X$