Нег Бином и Приор Джеффриса

Я пытаюсь получить априор Джеффриса для отрицательного биномиального распределения. Я не вижу, где я иду не так, поэтому, если кто-то может помочь указать на это, это будет оценено.

Итак, ситуация такова: я должен сравнить предыдущие распределения, полученные с использованием бинома и отрицательного бинома, где (в обоих случаях) есть испытаний и успехов. Я получаю правильный ответ для биномиального случая, но не для отрицательного бинома.$n$$m$

Давайте назовем Джеффриса предшествующий . Потом,$\pi_J(\theta)$

$$\pi_J(\theta)\propto [I(\theta)]^{1/2}.$$

В условиях регулярности (выполняется, когда мы имеем дело с экспоненциальным семейством),

$$I(\theta)=-E\left(\frac{\partial^2 \log L(\theta|x)}{\partial \theta^2}\right)$$ где для отрицательного бинома равно в приведенном выше выражение (общее количество успехов фиксировано, - нет). Распределение - я думаю -$n$$x$$m$$n$

$$p(m|\theta)\propto\theta^m(1-\theta)^{n-m}$$ поскольку определяется как вероятность успеха, а  - количество успехов. Это также вероятность, так как является скаляром, а не вектором. Следовательно,$\theta$$m$$m$

$$L(\theta|n)\propto\theta^m(1-\theta)^{n-m}\\ \log L(\theta|n)=m\log\theta +(n-m)\log (1-\theta)\\ \frac{\partial\log L(\theta|n)}{\partial \theta}=\frac{m}{\theta}-\frac{n-m}{1-\theta}\\ \frac{\partial^2\log L(\theta|n)}{\partial \theta^2}=-\frac{m}{\theta^2}-\frac{n-m}{(1-\theta)^2}$$ так что информация Фишера

$$I(\theta)=-E\left(\frac{\partial^2\log L(\theta|n)}{\partial \theta^2}\right)=\frac{m}{\theta^2}+\frac{E(n)-m}{(1-\theta)^2}=\frac{m}{\theta^2}+\frac{\frac{m\theta}{1-\theta}-m}{(1-\theta)^2}\\ =\frac{m(1-\theta)^2+\frac{m\theta^3}{(1-\theta)}-m\theta^2}{\theta^2(1-\theta)^2}=\frac{m(1-2\theta)+\frac{m\theta^3}{(1-\theta)}}{\theta^2(1-\theta)^2}\\ =\frac{m(1-2\theta)(1-\theta)+m\theta^3}{\theta^2(1-\theta)^3}=\frac{m(1-3\theta+2\theta^2+\theta^3)}{\theta^2(1-\theta)^3}\\ \propto\frac{1-3\theta+2\theta^2+\theta^3}{\theta^2(1-\theta)^3}$$

Это, однако, не дает мне правильного ответа. Правильный ответ

$$\pi_J(\theta)\propto \frac{1}{\theta(1-\theta)^{1/2}}$$ что означает, что информация, которую я получаю, должна быть

$$I(\theta)=\frac{1}{\theta^2(1-\theta)}$$ поскольку предыдущий должен быть пропорционален квадратному корню из информации.

Кто-нибудь может найти какие-либо ошибки? Я не удивлюсь, если я что-то напортачу с настройкой распределения (успехи против сбоев с их вероятностями и т. Д.).

Я использовал ожидаемое значение из Википедии, и я знаю правильный ответ отсюда (страница 3) .

Проблема возникает потому, что отрицательное биномиальное распределение может быть сформулировано по-разному. Как следствие, ожидание отличается для разных формулировок. Как вы указали отрицательное биномиальное распределение, ожидаемое значение равно (например, см. Здесь на стр. 3). При этом информация Фишера упрощается до$n$$E(n) = m/\theta$

$$I(\theta) = m\left(\frac{1}{\theta^2(1-\theta)}\right)$$

Таким образом, априор Джеффриса

$$\pi_{J}(\theta) = |I(\theta)|^{1/2}\propto \theta^{-1}(1-\theta)^{-1/2}$$

как вы уже заметили.