«Пик» перекошенной функции плотности вероятности

11

Я хотел бы описать «пиковость» и «тяжесть хвоста» нескольких искаженных функций плотности вероятности.

Особенности, которые я хочу описать, будут ли они называться «куртозом»? Я видел только слово "эксцесс", используемое для симметричных распределений?

pdf descriptive-statistics skewness kurtosis user1375871
источник

15

Действительно, меры эксцесса обычно применяются к симметричным распределениям. Вы можете рассчитать его и для перекосов, но интерпретация меняется, так как это значение меняется при введении асимметрии. На самом деле эти две концепции трудно разделить. Недавно в этой статье была предложена инвариантная мера эксцесса .

Высокий эксцесс связан с остроконечностью и тяжелой хвостатостью (он также характеризуется как «отсутствие плеч»). В одном из томов Кендалла и Стюарта эти вопросы обсуждаются довольно подробно. Но такие интерпретации, как вы заметили, обычно даются в ситуации почти симметрии. В несимметричных случаях стандартизированный 4-й момент обычно сильно коррелирует с квадратом стандартизированного третьего момента, поэтому они в основном измеряют примерно одно и то же.

Glen_b

Действительно, учитывая то, как я сформулировал это в своем предыдущем комментарии, это верно даже для симметричных распределений - квадрат стандартизированного третьего момента квадрата (квадратная асимметрия моментов) сильно коррелирует со стандартизованным четвертым моментом выборки («эксцесс»), даже при нормальном.

Glen_b

3

Поскольку дисперсию определяют как второй момент , а асимметрию определяют как третий момент а эксцесс определяют как четвертый момент , можно описать свойства широкого диапазона симметричных и несимметричных распределений из данных. $\mu_{2}$ $\mu_{3}$ $\mu_{4}$

Этот метод был первоначально описан Карлом Пирсоном в 1895 году для так называемых Пирсоновских Распределений I-VII. Это было расширено Эгоном Пирсоном (дата не определена), как опубликовано в Hahn и Shapiro в 1966 году, до широкого диапазона симметричных, асимметричных и тяжелых хвостовых распределений, включая Uniform, Normal, Students-t, Lognormal, Exponential, Gamma, Beta, Бета J и Бета U. Из графика р. 197 Hahn и Shapiro, и могут использоваться для установления дескрипторов асимметрии и эксцессов как: $B_{1}$ $B_{2}$

$\mu_{3} = \sqrt {B_{1}\ \mu_{2}^{3}}$
$\mu_{4} = B_{2}\ \mu_{2}^{2}$

Если вы просто хотели простые относительные дескрипторы, тогда, применяя константу асимметрия равна $\mu_{2} = 1$ и эксцесс. $\sqrt {B_{1}}$ $B_{2}$

Мы попытались суммировать эту таблицу здесь, чтобы ее можно было запрограммировать, но лучше рассмотреть ее в Хан и Шапиро (стр. 42-49,122-132,197). В некотором смысле мы предлагаем немного реверс-инжиниринга диаграммы Пирсона, но это может быть способом количественного определения того, что вы ищете.

AsymLabs
источник

3

Главный вопрос здесь, что такое "пик"? Это кривизна на пике (2-ая производная?) Сначала требуется стандартизация? (Вы могли бы так подумать, но есть поток литературы, начинающийся с Просшана, Ann. Math. Statist. Volume 36, Number 6 (1965), 1703-1706, который определяет пиковость таким образом, чтобы нормаль с меньшей дисперсией была больше » достиг своего пика "). Или это концентрация вероятности в пределах стандартного отклонения от среднего, как это подразумевается в Balanda и Macgillivray (The American Statistician, 1988, Vol. 42, 111-119)? Как только вы остановитесь на определении, применять его будет тривиально. Но я бы спросила: "почему тебя это волнует?" Какое значение имеет «пик», как бы он ни определялся?

Кстати, эксцесс Пирсона измеряет только хвосты и не измеряет ни одно из вышеупомянутых определений «пика». Вы можете изменять данные или распределение в пределах стандартного отклонения от среднего по своему усмотрению (сохраняя ограничение = 0 и дисперсию = 1), но эксцесс может изменяться только в максимальном диапазоне 0,25 (обычно намного меньше). Таким образом, вы можете исключить использование эксцесса для измерения пика для любого распределения, даже если эксцесс действительно является мерой хвостов для любого распределения, независимо от того, является ли распределение симметричным, асимметричным, дискретным, непрерывным, дискретным / непрерывным или эмпирическим. Куртоз измеряет хвосты для всех распределений и практически ничего не говорит о пике (как бы он ни определялся).

Питер Уэстфолл
источник

1

$\Pr\left(\tilde X \gt 1- \alpha \right)$ $w_1=\frac{\tilde{x_{99}}-\tilde{x_{50}}}{\tilde{x_{75}}-\tilde{x_{50}}}$ $\tilde x$ $w_2=\frac{\tilde{\Phi_{99}}-\tilde{\Phi_{50}}}{\tilde{\Phi_{75}}-\tilde{\Phi_{50}}}$ $\tau=\frac{w_1}{w_2}$

Джорджо Спедикато
источник

0

Я не уверен, что понял ваше понимание пика и тяжести. Куртоз означает «избыток» на немецком языке, поэтому он описывает «голову» или «пик» распределения, описывая, является ли он очень широким или очень узким. Википедия утверждает, что «пик» на самом деле описывается «куртозом», тогда как пик не кажется реальным словом, и вы должны использовать термин «куртоз».

Так что я думаю, что вы, возможно, все поняли правильно, голова - это Куртоз, «тяжесть» хвоста - это косность »:

Вот как вы найдете это:

a_{3} знак равно \frac{Σ_{я знак равно 1}^{N} ({Икс}_{я} - \bar{Икс})^{3}}{N * s_{Икс}^{3}}

$a_3 = \frac{\Sigma^{N}_{i=1}(x_i - \overline x)^3}{N * s^3_x}$

с s в качестве стандартного отклонения для х.

Значения указывают:

Отрицательный перекос:

a_{3} < 0

$a_3 < 0$

Положительный перекос:

a_{3} > 0

$a_3 > 0$

Нет перекоса

a_{3} знак равно 0

$a_3 = 0$

Вы можете получить значение для эксцесса с помощью:

a_{4} знак равно \frac{Σ_{я знак равно 1}^{N} ({Икс}_{я} - \bar{Икс})^{4}}{N * s_{Икс}^{4}}

$a_4 = \frac{\Sigma^{N}_{i=1}(x_i - \overline x)^4}{N * s^4_x}$

Значения указывают:

Platycurtic:

a_{4} < 3

$a_4 < 3$

Лептокуртик:

a_{4} > 3

$a_4 > 3$

Нормальный:

a_{4} знак равно 3.0

$a_4 = 3.0$

Это помогло?

Йоханнес Хофмайстер
источник

3

Боюсь, что этот ответ в его нынешнем виде может быть менее полезным из-за ошибок в нем. Асимметрия является стандартной мерой асимметрии . Это не тесно связано с тяжестью хвостов: хвосты могут быть очень тяжелыми, а асимметрия - нулевой (например, в случае любого симметричного распределения). Обратите также внимание, что может быть отрицательным, поэтому вторая половина этого ответа не имеет большого смысла. (Возможно, вы перепутали эксцесс с избыточным эксцессом ?)

a_{4}

$a_4$

whuber

1

Спасибо за разъяснения. В формулах действительно могут быть некоторые ошибки, я просто скопировал их из сценариев, которые они предоставляют в универе. Я наблюдал за тем, что а4 не может быть отрицательным.

Йоханнес Хофмайстер

1

Я посмотрел, почему мой ответ неправильный - это переводческая ошибка, я прошу прощения за это. Мои слайды все на немецком языке, смешивая Kurtosis и Excess .

Йоханнес Хофмайстер

@Peter Как Питер Уэстфолл продолжает указывать, ваш комментарий неверен: «пик» (любого режима), смутно представленный как точечная или высотная, не имеет абсолютно никакого отношения к хвостам любого распределения, и при этом он не измеряется каким-либо конечным комбинация моментов (таких как эксцесс). Может случиться так, что это связано с тяжестью хвостов для семейства распределений, но это совершенно другой вопрос.

whuber

-1

Куртоз определенно связан с остротой кривой. Впредь я полагаю, что вы действительно ищете эксцесс, который существует независимо от того, является ли распределение симметричным или нет. (user10525) определенно сказал это правильно! Я надеюсь, что ваша проблема уже решена. Делитесь своим итогом, все мнения приветствуются.

Вани
источник

1

Я не уверен, как это составляет полезный ответ помимо того, что уже было написано здесь. Как насчет того, чтобы больше рассказать о куртозе и остроте кривой?

Момо

Хотел дать четкое разъяснение по запросу. Обсуждение , казалось запутанным @Momo

Вани

«Пик» перекошенной функции плотности вероятности

Ответы: