Связь между генерирующей момент функцией и характеристической функцией

17

Я пытаюсь понять связь между генерирующей момент функцией и характеристической функцией. Генерирующая момент функция определяется как:

MX(t)=E(exp(tX))=1+tE(X)1+t2E(X2)2!++tnE(Xn)n!

Используя разложение в ряд Я могу найти все моменты распределения для случайной величины X.exp(tX)=0(t)nXnn!

Характеристическая функция определяется как:

φX(t)=E(exp(itX))=1+itE(X)1t2E(X2)2!++(it)nE(Xn)n!

Я не совсем понимаю, какую информацию воображаемое число даю мне больше. Я вижу, что i 2 = - 1, и, таким образом, у нас нет только + в характеристической функции, но зачем нам нужно вычитать моменты в характеристической функции? Какая математическая идея?ii2=1+

Giuseppe
источник
7
Важным моментом является то, что функция, генерирующая моменты, не всегда конечна! (См., Например, этот вопрос .) Если вы хотите построить общую теорию, скажем, о конвергенции в распределении, вы бы хотели, чтобы она работала с максимально возможным количеством объектов. Характеристическая функция, конечно, конечна для любой случайной величины, поскольку . |exp(itX)|1
кардинал
Сходства в разложениях Тейлора по-прежнему позволяют считывать моменты, когда они существуют, но отмечают, что не у всех распределений есть моменты, поэтому интерес к этим функциям выходит далеко за рамки этого! :)
кардинал
6
Следует также отметить, что MGF - это преобразование Лапласа случайной величины, а CF - преобразование Фурье. Между этими интегральными преобразованиями существуют фундаментальные отношения, см. Здесь .
Чакраварти
Я думал, что CF - обратное преобразование Фурье (а не преобразование Фурье) распределения пригодности?
Джузеппе
1
Различие - только вопрос знака в показателе степени, и возможно мультипликативная константа.
Glen_b

Ответы:

12

1

Е[еTИкс]Tграмм(Z)знак равноЕ[еZИкс]ZMИкс(T)знак равнограмм(T)φИкс(T)знак равнограмм(яT),

Давиде Жираудо
источник