Беспристрастная оценка экспоненты меры множества?

Предположим, что у нас есть (измеримое и соответственно хорошо себя ведущее) множество , где компактно. Кроме того, предположим, что мы можем извлечь образцы из равномерного распределения по относительно меры Лебега и что мы знаем меру . Например, возможно представляет собой коробку , содержащий .$S\subseteq B\subset\mathbb R^n$$B$$B$$\lambda(\cdot)$$\lambda(B)$$B$$[-c,c]^n$$S$

Для фиксированного , существует ли простой непредвзятый способ оценки путем равномерной выборки точек в и проверки, находятся ли они внутри или вне ?$\alpha\in\mathbb R$$e^{-\alpha \lambda(S)}$$B$$S$

В качестве примера чего-то, что не совсем работает, предположим, что мы точек . Тогда мы можем использовать оценку Монте-Карло Но, хотя - это объективная оценка , я не думаю, что - это объективная оценка . Есть ли способ изменить этот алгоритм?$k$$p_1,\ldots,p_k\sim\textrm{Uniform}(B)$

$$\lambda(S)\approx \hat\lambda:= \frac{\#\{p_i\in S\}}{k}\lambda(B).$$ А , А(S)е-& alpha ; А , е-& alphaА(S)$\hat\lambda$$\lambda(S)$$e^{-\alpha\hat\lambda}$$e^{-\alpha\lambda(S)}$

Предположим, что вам доступны следующие ресурсы:

1. У вас есть доступ к оценщику .$\hat{\lambda}$
2. $\hat{\lambda}$ беспристрастен для .$\lambda ( S )$
3. $\hat{\lambda}$ почти несомненно , ограничена сверху .$C$
4. Вы знаете постоянную , и$C$
5. Вы можете формировать независимые реализации столько раз, сколько захотите.$\hat{\lambda}$

Теперь обратите внимание, что для любого место следующее (в силу разложения Тейлора ):$u > 0$$\exp x$

$$\begin{align} e^{-\alpha \lambda ( S ) } &= e^{-\alpha C} \cdot e^{\alpha \left( C - \lambda ( S ) \right)} \\ &= e^{- \alpha C} \cdot \sum_{k \geqslant 0} \frac{ \left( \alpha \left[ C - \lambda ( S ) \right] \right)^k}{ k! } \\ &= e^{- \alpha C} \cdot e^u \cdot \sum_{k \geqslant 0} \frac{ e^{-u} \cdot \left( \alpha \left[ C - \lambda ( S ) \right] \right)^k}{ k! } \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \sum_{k \geqslant 0} \frac{ u^k e^{-u} }{ k! } \left(\frac{ \alpha \left[ C - \lambda ( S ) \right]}{u} \right)^k \end{align}$$

Теперь сделайте следующее:

1. Пример .$K \sim \text{Poisson} ( u )$
2. Форма как несмещенная оценка .$\hat{\lambda}_1, \cdots, \hat{\lambda}_K$$\lambda(S)$
3. Вернуть оценку

$$\hat{\Lambda} = e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \cdot \prod_{i = 1}^K \left\{ C - \hat{\lambda}_i \right\}.$$

$\hat{\Lambda}$ является неотрицательной, непредвзятой оценкой . Это потому что$\lambda(S)$

$$\begin{align} \mathbf{E} \left[ \hat{\Lambda} | K \right] &= e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \mathbf{E} \left[ \prod_{i = 1}^K \left\{ C - \hat{\lambda}_i \right\} | K \right] \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \prod_{i = 1}^K \mathbf{E} \left[ C - \hat{\lambda}_i \right] \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \prod_{i = 1}^K \left[ C - \lambda ( S ) \right] \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \left[ C - \lambda ( S ) \right]^K \end{align}$$

и поэтому

$$\begin{align} \mathbf{E} \left[ \hat{\Lambda} \right] &= \mathbf{E}_K \left[ \mathbf{E} \left[ \hat{\Lambda} | K \right] \right] \\ &= \mathbf{E}_K \left[ e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \left[ C - \lambda ( S ) \right]^K \right] \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \sum_{k \geqslant 0} \mathbf{P} ( K = k ) \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \left[ C - \lambda ( S ) \right]^K \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \sum_{k \geqslant 0} \frac{ u^k e^{-u} }{ k! } \left(\frac{ \alpha \left[ C - \lambda ( S ) \right]}{u} \right)^k \\ &= e^{-\alpha \lambda ( S ) } \end{align}$$

по более раннему расчету.

Ответ отрицательный.

Достаточной статистикой для равномерной выборки является количество точек, которые находятся в Это число имеет биномиальное распределение . Напишите и$X$$S.$$(n,\lambda(S)/\lambda(B))$$p=\lambda(S)/\lambda(B)$$\alpha^\prime = \alpha\lambda(B).$

Для размера выборки пусть будет любой (нерандомизированной) оценкой Ожидание$n,$$t_n$$\exp(-\alpha \lambda(S)) = \exp(-(\alpha\lambda(B)) p) = \exp(-\alpha^\prime p).$

$$E[t_n(X)] = \sum_{x=0}^n \binom{n}{x}p^x (1-p)^{n-x}\, t_n(x),$$

который равен многочлену степени не более в Но если экспонента не может быть выражена как многочлен от (Одно доказательство: возьмите производную. Результат для ожидания будет равен нулю, но производная экспоненты, которая сама является экспонентой по не может быть равна нулю.)$n$$p.$$\alpha^\prime p \ne 0,$$\exp(-\alpha^\prime p)$$p.$$n+1$$p,$

Демонстрация для рандомизированных оценок почти такая же: взяв ожидания, мы снова получаем многочлен от$p.$

Следовательно, не существует объективной оценки.