Делает ли Wolfram Mathworld ошибку, описывая дискретное распределение вероятностей с помощью функции плотности вероятности?

Обычно распределение вероятностей по дискретным переменным описывается с использованием функции вероятности (PMF):

При работе с непрерывными случайными величинами мы описываем распределения вероятностей, используя функцию плотности вероятности (PDF), а не функцию массы вероятности.

- Глубокое обучение от Гудфеллоу, Бенжио и Курвилля

Однако Wolfram Mathworld использует PDF для описания распределения вероятностей по дискретным переменным:

Это ошибка? или это не имеет большого значения?

Это не ошибка: в формальной трактовке вероятности с помощью теории меры функция плотности вероятности является производной от интересующей меры вероятности, взятой в отношении «доминирующей меры» (также называемой «эталонной мерой»). Для дискретных распределений по целым числам функция вероятности является функцией плотности по отношению к счетной мере . Поскольку функция вероятности является определенным типом функции плотности вероятности, вы иногда найдете ссылки, подобные этой, которые называют ее функцией плотности, и они не ошибаются, ссылаясь на нее таким образом.

В обычном дискурсе о вероятности и статистике часто избегают этой терминологии и проводят различие между «массовыми функциями» (для дискретных случайных величин) и «плотностными функциями» (для непрерывных случайных величин), чтобы различать дискретные и непрерывные распределения. В других контекстах, где говорится о целостных аспектах вероятности, часто лучше игнорировать это различие и называть оба «функциями плотности».

В дополнение к более теоретическому ответу с точки зрения теории мер также удобно не проводить различий между pmfs и pdfs в статистическом программировании. Например, R имеет множество встроенных дистрибутивов. Для каждого распределения у него есть 4 функции. Например, для нормального распространения (из файла справки):

dnorm gives the density, pnorm gives the distribution function, qnorm gives the quantile function, and rnorm generates random deviates.

Пользователи R быстро стали использовать d,p,q,rпрефиксы. Было бы неприятно, если бы вам пришлось сделать что-то вроде drop dи использовать, mнапример, для биномиального распределения. Вместо этого все так, как ожидал бы пользователь R:

dbinom gives the density, pbinom gives the distribution function, qbinom gives the quantile function and rbinom generates random deviates.